Uneigentliches Integral < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:58 So 06.02.2005 | | Autor: | Sue20 |
Bei folgender Aufgabe komme ich zu keiner richtigen Lösung:
[mm] \integral_{0}^{1} [/mm] { [mm] \bruch{arcsin x}{\wurzel{1-x²}} [/mm] dx}
Es muss rauskommen: [mm] \bruch{ \pi^{2}}{8}
[/mm]
u = arcsin x
du = [mm] \bruch{1}{\wurzel{1-x²}} [/mm] dx
= [mm] \integral{u du} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}u² [/mm] + c = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] arcsin²x + c (Stammfunktion)
[mm] \integral_{0}^{1} [/mm] { [mm] \bruch{arcsin x}{\wurzel{1-x²}} [/mm] dx}
= [mm] \limes_{ \varepsilon\rightarrow 0} \integral_{0}^{1-\varepsilon} {\bruch{arcsin}{\wurzel{1-x²}} dx}
[/mm]
= [mm] \limes_{ \varepsilon\rightarrow 0} \bruch{1}{2} [/mm] arcsin²x
[mm] ((1-\varepsilon) [/mm] einsetzen) - (0 einsetzen)
= [mm] \limes_{ \varepsilon\rightarrow 0} (\bruch{1}{2} (arcsin(1-\varepsilon))² [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] (arcsin(0))²)
Der zweite Term ist 0.
= [mm] \limes_{ \varepsilon\rightarrow 0} \bruch{1}{2} (arcsin(1-\varepsilon))²
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] (arcsin(1))² = ???
Ich komme einfach nicht auf obige Lösung.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:05 So 06.02.2005 | | Autor: | Max |
Die Stammfunktion ist ja schon richtig. Da [mm] $\arcsin(1)=\frac{\pi}{2}$ [/mm] folgt doch direkt, dass das Integral den Wert [mm] $\frac{\pi^2}{8}$. [/mm] Warum machst du überhaupt ein uneigentliches Integral???
Oder übersehe ich etwas?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:57 So 06.02.2005 | | Autor: | Sue20 |
Das uneigentliche Integral wegen den Intervallgrenzen a=0 und b=1 (und diese Aufgabe gehört zu der Aufgabengruppe uneigentliche Integrale).
Wenn ich die letzte Zeile (mit meinen drei ???) ausrechne, komme ich auf 4050 statt [mm] \bruch{ \pi^{2}}{8}.
[/mm]
Wenn es ein unbestimmtes Integral wäre (ohne die Intervallgrenzen), dann käme laut deiner Rechnung das richtige Ergebnis heraus.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:05 Mo 07.02.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sue!
> Wenn ich die letzte Zeile (mit meinen drei ???) ausrechne,
> komme ich auf 4050 statt [mm]\bruch{ \pi^{2}}{8}.
[/mm]
Ja, klar, wenn du vergißt, deinen "Taschenrechner" (bzw. deinen Geist  ) vom Gradmaß ins Bogenmaß umzustellen!
Rechnest du im Bogenmaß, so gilt wie gewünscht:
[mm]\frac{(\arcsin(1))^2}{2}=\frac{\left(\frac{\pi}{2}\right)^2}{2}=\frac{\pi^2}{8}[/mm] .
Rechnest du allerdings im Gradmaß, so erhältst du:
[mm] "$\frac{90^2}{2}=4050$". [/mm] Aber:
Den Wert $4050$ hast du berechnet, weil dir dein TR gesagt hat:
[mm] "$\arcsin(1)=90$" [/mm] (wobei $90$ eigentlich $90°$ sind; daher steht die zweite Rechnung auch in Anführungszeichen!).
PS: Ist [mm] $\alpha$ [/mm] der Winkel im Gradmaß und $b$ der (zugehörige) Winkel im Bogenmaß, so gilt folgende Umrechnungsregel:
[mm]\frac{\alpha}{180°}=\frac{b}{\pi}\;\;\left(\gdw \alpha=\frac{b}{\pi}*180°\;\;\gdw b=\frac{\alpha}{180°}*\pi\right)[/mm]
(Beachte auch die Tabelle unter:  Winkelfunktion.)
Beispiele:
1.) Gegeben sei [mm] $\alpha=40°$. [/mm] Gesucht: $b$.
Lösung:
[mm] $\frac{40°}{180°}=\frac{b}{\pi}$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $b=\frac{2}{9}*\pi\approx [/mm] 0,7$
2.) Gegeben sei $b=0,6$. Gesucht: [mm] $\alpha$.
[/mm]
Lösung:
[mm] $\frac{\alpha}{180°}=\frac{0,6}{\pi}$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $\alpha=\frac{0,6}{\pi}*180° \approx [/mm] 34,38°$
Viele Grüße,
Marcel
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