Uneigentliches Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Entscheiden Sie, ob das folgende uneigentliche Integral existiert, und bestimmen Sie gegebenenfalls seinen Wert.
(Falls das Integral nicht existiert, geben Sie als Wert n an.)
[mm] \int_{0}^{1}\,\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\,\mathrm{d}x [/mm] |
Hallo.
Ich habe die oben beschriebene Aufgabe gemacht und wüsste gerne ob meine Gedankengänge richtig sind.
Mein Lösungsvorschlag:
[mm] \integral_{a}^{1}{\bruch{1}{x^{\bruch{1}{3}}dx}}=[\bruch{3}{2}x^{\bruch{2}{3}}] [/mm] in den Grenzen 1 und a
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \bruch{3}{2}1^{\bruch{2}{3}}-\limes_{a\rightarrow\0}(\bruch{3}{2}a^{\bruch{2}{3}})
[/mm]
Da a gegen 0 läuft kann der hintere Ausdruck vernachlässigt werden und man erhält als Lösung [mm] \bruch{3}{2}*1=1.5
[/mm]
Ist dies so richtig?
Viele Grüße
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> Entscheiden Sie, ob das folgende uneigentliche Integral
> existiert, und bestimmen Sie gegebenenfalls seinen Wert.
>
> (Falls das Integral nicht existiert, geben Sie als Wert n
> an.)
>
>
>
> [mm]\int_{0}^{1}\,\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\,\mathrm{d}x[/mm]
> Hallo.
>
> Ich habe die oben beschriebene Aufgabe gemacht und wüsste
> gerne ob meine Gedankengänge richtig sind.
> Mein Lösungsvorschlag:
>
> [mm]\integral_{a}^{1}{\bruch{1}{x^{\bruch{1}{3}}dx}}=[\bruch{3}{2}x^{\bruch{2}{3}}][/mm]
> in den Grenzen 1 und a
> [mm]\Rightarrow[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]\bruch{3}{2}1^{\bruch{2}{3}}-\limes_{a\rightarrow\0}(\bruch{3}{2}a^{\bruch{2}{3}})[/mm]
>
> Da a gegen 0 läuft kann der hintere Ausdruck
> vernachlässigt werden und man erhält als Lösung
> [mm]\bruch{3}{2}*1=1.5[/mm]
Alles richtig gemacht und ein schönes Ergebnis erzielt: Obwohl asymptotisch für x gegen 0, so existiert ein eindeutiger Grenzwert.
Danke an Al-Chwaritzmi:
In der Tat musst du hier eine Grenzwertbetrachtung vornehmen, da der Definitionsbereich von f keine 0 vorsieht, sprich: [mm] \IR+ [/mm] ist
Siehe auch: [mm] http://www.wolframalpha.com/input/?i=integral_0^1%28x^%28-1%2F3%29%29&asynchronous=false&equal=Submit
[/mm]
>
> Ist dies so richtig?
>
> Viele Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:19 Mo 14.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Entscheiden Sie, ob das folgende uneigentliche Integral
> > existiert, und bestimmen Sie gegebenenfalls seinen Wert.
> >
> > (Falls das Integral nicht existiert, geben Sie als Wert n
> > an.)
> >
> >
> >
> > [mm]\int_{0}^{1}\,\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\,\mathrm{d}x[/mm]
> > Hallo.
> >
> > Ich habe die oben beschriebene Aufgabe gemacht und wüsste
> > gerne ob meine Gedankengänge richtig sind.
> > Mein Lösungsvorschlag:
> >
> >
> [mm]\integral_{a}^{1}{\bruch{1}{x^{\bruch{1}{3}}dx}}=[\bruch{3}{2}x^{\bruch{2}{3}}][/mm]
> > in den Grenzen 1 und a
> > [mm]\Rightarrow[/mm]
>
>
>
> >
> >
> [mm]\bruch{3}{2}1^{\bruch{2}{3}}-\limes_{a\rightarrow\0}(\bruch{3}{2}a^{\bruch{2}{3}})[/mm]
> >
> > Da a gegen 0 läuft kann der hintere Ausdruck
> > vernachlässigt werden und man erhält als Lösung
> > [mm]\bruch{3}{2}*1=1.5[/mm]
>
>
>
> Mir ist nicht klar, was die Aufgabe mit einem
> uneigentlichen Integral zu tun haben soll, weil das immer
> Integrale sind, die nicht zu berechnen sind, wenn man keine
> Grenzwertbetrachtung macht, also z.B. [mm]e^x[/mm] für - unendlich
> oder 1/x für x gegen 0. Hier kannst du aber jederzeit die
> 0 einsetzten, verbietet dir ja niemand, aus 0 die Wurzel zu
Der Integrand in
$ [mm] \int_{0}^{1}\,\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\,\mathrm{d}x [/mm] $
ist an der Stelle x=0 nicht definiert !!! Damit hat man ein uneigentliches Integral !#
FRED
> ziehen, oder?
> Deshalb ist zwar dein Vorgehen richtig, aber der limes
> samt Parameter a überflüssig.
> >
> > Ist dies so richtig?
> >
> > Viele Grüße
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:21 Mo 14.02.2011 | | Autor: | Adamantin |
Das ist korrekt, ich hatte meinen Beitrag auch schon editiert. Habe mich also unglücklich/falsch ausgedrückt, danke ;)
Dank Al-Chwarizmi sehe ich jetzt auch, dass eine Grenzwertbetrachtung für die Stammfunktion nötig ist, da 0 nicht im Def-Bereich von f enthalten ist.
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> Das ist korrekt, ich hatte meinen Beitrag auch schon
> editiert. Ich meinte damit, dass die Berechnung keine
> Grenzwertbetrachtung erfordert, das Integral ist natürlich
> uneigentlich. Dennoch gibt es Aufgaben, wo eben zusätzlich
> noch die Grenzwertbetrachtung vorzunehmen ist, weil auch
> die Stammfunktion nicht an der Stelle [mm]x_0[/mm] definiert ist.
> Habe mich also unglücklich/falsch ausgedrückt, danke ;)
Hallo,
entschuldige meine Pingeligkeit in diesem Fall, doch
müsste man hier doch Folgendes sagen: Da der Integrand
nur für positive x definiert ist, ist auch der Definitionsbereich
der Stammfunktion F auf positive x-Werte beschränkt:
$\ F(x)\ =\ [mm] \begin{cases} \frac{3}{2}\ x^{\frac{2}{3}} &\quad (x>0) \\ \text{nicht definiert} & \quad (x\le0) \end{cases}$
[/mm]
F(0) ist also nicht definiert. Die Grenzwertbildung ist also
nicht fakultativ. Dass es neben dieser Stammfunktion F
auch noch eine Funktion G gibt:
$\ G(x)\ =\ [mm] \begin{cases} \frac{3}{2}\ x^{\frac{2}{3}} &\quad (x\ge0) \\ \text{nicht definiert} & \quad (x<0) \end{cases}$
[/mm]
welche an der Stelle x=0 rechtsseitig stetig ist, hat damit
für die vorliegende Aufgabe eigentlich nichts zu tun.
LG Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:22 Mo 14.02.2011 | | Autor: | Adamantin |
So habe ich das überhaupt nicht gesehen, aber ausgehend vom Def.-Bereich von f muss ich dir völlig recht geben, da dort 0 nicht zur Definitionsmenge gehört, darf ich auch bei der Stammfunktion diese nicht einfach hinzunehmen. Damit haben wir ja ein vollständig zufriedenstellendes uneigentliches Integral ;)
Danke für die gute Anmerkung...
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