Uneigentliches Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:32 So 13.03.2011 | | Autor: | StevieG |
| Aufgabe | Aufgabe
1)
a) Berechnen Sie für a [mm] \in [/mm] R + , das uneigentliche Integral
[mm] \integral_{0}^{\infty}{x exp(-ax) dx}
[/mm]
b)
Zeigen Sie induktiv, dass
[mm] \integral_{0}^{\infty}{x^{n} exp(-ax) dx} [/mm] = [mm] \bruch{n!}{a^{n+1}}
[/mm]
n [mm] \in [/mm] N , [mm] a\in [/mm] R
Hinweis: Sie dürfen bei dieser Aufgabe vorausetzen, dass für belieb. n [mm] \in [/mm] N und a [mm] \in [/mm] R+ der Grenzwert [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x^{n} [/mm] exp(-ax) = 0 existiert. |
zu Aufgabe 1
ich habe die Aufgabe mit partieller Integration versucht:
[mm] \integral_{0}^{\infty}{x exp(-ax) dx} [/mm] = [mm] \limes_{b\rightarrow\infty}\integral_{0}^{b}{x exp(-ax) dx}
[/mm]
wenn ich das x als u´ ansehe wird die Rechnung zu kompliziert, wenn ich exp(-ax) für mein u´ wähle muss ich dessen Stammfunktion erraten
nach langer Überlegung [mm] -\bruch{1}{a}exp(-ax) [/mm] , wenn ich das weiterausrechne bekomme ich die Stammfunktion.
Gibt es keinen "einfacheren" Weg?
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Hallo,
> Aufgabe
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> 1)
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> a) Berechnen Sie für a [mm]\in[/mm] R + , das uneigentliche Integral
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> [mm]\integral_{0}^{\infty}{x exp(-ax) dx}[/mm]
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> b)
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> Zeigen Sie induktiv, dass
>
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{x^{n} exp(-ax) dx}[/mm] = [mm]\bruch{n!}{a^{n+1}}[/mm]
>
> n [mm]\in[/mm] N , [mm]a\in[/mm] R
>
> Hinweis: Sie dürfen bei dieser Aufgabe vorausetzen, dass
> für belieb. n [mm]\in[/mm] N und a [mm]\in[/mm] R+ der Grenzwert
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}x^{n}[/mm] exp(-ax) = 0 existiert.
> zu Aufgabe 1
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> ich habe die Aufgabe mit partieller Integration versucht:
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> [mm]\integral_{0}^{\infty}{x exp(-ax) dx}[/mm] = [mm]\limes_{b\rightarrow\infty}\integral_{0}^{b}{x exp(-ax) dx}[/mm]
>
> wenn ich das x als u´ ansehe wird die Rechnung zu
> kompliziert, wenn ich exp(-ax) für mein u´ wähle muss
> ich dessen Stammfunktion erraten
>
> nach langer Überlegung [mm]-\bruch{1}{a}exp(-ax)[/mm] , wenn ich
> das weiterausrechne bekomme ich die Stammfunktion.
>
> Gibt es keinen "einfacheren" Weg?
Dein Weg ist schon der einfachste, wenn man ein bisschen mit den üblichen Ableitungen vertraut ist:
[mm] \left(e^{ax}\right)'=ae^{ax}
[/mm]
Auch im Hinblick auf die nächste Teilaufgabe ist partielle Integration ein guter Ansatz.
Gruß
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:50 So 13.03.2011 | | Autor: | StevieG |
[mm] \limes_{b\rightarrow\infty}\integral_{0}^{b}{xexp(-ax) dx}= -|\bruch{x}{a}exp(-ax)| [/mm] - [mm] \integral_{0}^{b}{1*exp(-ax)dx}
[/mm]
[mm] =-|\bruch{x}{a}exp(-ax)| +|\bruch{1}{a}*exp(-ax)|
[/mm]
= [mm] exp(-ax)|-\bruch{x}{a} +\bruch{1}{a}|
[/mm]
da ist irgend ein Fehler drin?
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Hallo StevieG,
> [mm]\limes_{b\rightarrow\infty}\integral_{0}^{b}{xexp(-ax) dx}= -|\bruch{x}{a}exp(-ax)|[/mm]
> - [mm]\integral_{0}^{b}{1*exp(-ax)dx}[/mm]
Hier muss es doch lauten:
[mm]\limes_{b\rightarrow\infty}\integral_{0}^{b}{xexp(-ax) dx}= -|\bruch{x}{a}exp(-ax)|_{0}^{b}- \integral_{0}^{b}{1*\red{\left(-\bruch{1}{a}\right)}\operatorname{exp(-ax)} \ dx[/mm]
> [mm]=-|\bruch{x}{a}exp(-ax)| +|\bruch{1}{a}*exp(-ax)|[/mm]
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> = [mm]exp(-ax)|-\bruch{x}{a} +\bruch{1}{a}|[/mm]
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> da ist irgend ein Fehler drin?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:25 So 13.03.2011 | | Autor: | StevieG |
immer diese unnötigen Fehler :-(
[mm] [-exp(-ax)(\bruch{x}{a}+\bruch{1}{a^{2}}] [/mm] von 0 bis b
wenn ich b gegen unendlich laufen lasse wird
lim [mm] -\bruch{1}{exp(ab)} [/mm] = 0 somit auch die gesammte Stammfunktion
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> immer diese unnötigen Fehler :-(
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> [mm][-exp(-ax)(\bruch{x}{a}+\bruch{1}{a^{2}}][/mm] von 0 bis b
>
> wenn ich b gegen unendlich laufen lasse wird
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> lim [mm]-\bruch{1}{exp(ab)}[/mm] = 0 somit auch die gesammte
> Stammfunktion
Nein, du musst auch noch 0 einsetzen (untere Grenze)
>
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 So 13.03.2011 | | Autor: | StevieG |
[mm] [-exp(-ab)(\bruch{b}{a} +\bruch{1}{a²}] -[-exp(0)(\bruch{1}{a²}]
[/mm]
[mm] \limes_{b\rightarrow\infty} [/mm] + [mm] \bruch{1}{a²}
[/mm]
wenn nun a gegen unendlich geht, folgt Grenzwert = 0 ?
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> [mm][-exp(-ab)(\bruch{b}{a} +\bruch{1}{a²}] -[-exp(0)(\bruch{1}{a²}][/mm]
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> [mm]\limes_{b\rightarrow\infty}[/mm] + [mm]\bruch{1}{a²}[/mm]
>
> wenn nun a gegen unendlich geht, folgt Grenzwert = 0 ?
a läuft nirgends gegen [mm] \infty, [/mm] sondern a ist konstant. Der Grenzwert ist einfach [mm] \frac{1}{a^2}.
[/mm]
Das ist deine Induktionsanfang für b mit n=1
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:23 So 13.03.2011 | | Autor: | StevieG |
zur B)
1. Induktionsanfang: n=1
aus a) folgt GW ist [mm] \bruch{1}{a²} [/mm] = [mm] \bruch{1!}{a^{2}}
[/mm]
2. Induktionsannahme
[mm] \integral_{0}^{\infty}{x^{n}exp(-ax) dx} [/mm] = [mm] \bruch{n!}{a^{n+1}}
[/mm]
gilt für belieb. [mm] n\in [/mm] N und [mm] a\in [/mm] R
3. Induktionsschritt:
zZ: [mm] \integral_{0}^{\infty}{x^{n+1}exp(-ax) dx} [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)!}{a^{n+2}}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{\infty}{x^{n+1}exp(-ax) dx} =\integral_{0}^{\infty}{x^{n}x exp(-ax) dx} [/mm] = (hier müsste man eigentlich die Annahme benutzen aber das bringt mir nicht weil ich hier im Integral bin)
das x aus dem integral ziehen geht auch nicht
der GW von [mm] \integral_{0}^{\infty}{x^{1}exp(-ax) dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{a²}
[/mm]
der GW von xmal müsste dann auch 0 sein
ich weiss nicht wie ich das ausdrücken soll?
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Hallo StevieG,
> zur B)
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> 1. Induktionsanfang: n=1
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> aus a) folgt GW ist [mm]\bruch{1}{a²}[/mm] = [mm]\bruch{1!}{a^{2}}[/mm]
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> 2. Induktionsannahme
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> [mm]\integral_{0}^{\infty}{x^{n}exp(-ax) dx}[/mm] =
> [mm]\bruch{n!}{a^{n+1}}[/mm]
>
> gilt für belieb. [mm]n\in[/mm] N und [mm]a\in[/mm] R
>
> 3. Induktionsschritt:
>
> zZ: [mm]\integral_{0}^{\infty}{x^{n+1}exp(-ax) dx}[/mm] =
> [mm]\bruch{(n+1)!}{a^{n+2}}[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{x^{n+1}exp(-ax) dx} =\integral_{0}^{\infty}{x^{n}x exp(-ax) dx}[/mm]
> = (hier müsste man eigentlich die Annahme benutzen aber
> das bringt mir nicht weil ich hier im Integral bin)
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> das x aus dem integral ziehen geht auch nicht
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> der GW von [mm]\integral_{0}^{\infty}{x^{1}exp(-ax) dx}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{a²}[/mm]
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> der GW von xmal müsste dann auch 0 sein
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> ich weiss nicht wie ich das ausdrücken soll?
>
Integriere wie gewohnt partiell:
[mm]\integral_{0}^{\infty}{u*v' \ dx}=\left u*v\right|_{0}^{\infty}-\integral_{0}^{\infty}{u'*v \ dx} [/mm]
mit [mm]u=x^{n+1}, \ v'=\operatorname{exp}\left(-a*x\right)[/mm]
Dann muss Du noch zeigen, daß
[mm]\limes_{b \to \infty}{\left x^{n+1}*\operatorname{exp}\left(-a*x\right)}\right]_{0}^{b}=0[/mm]
Gruss
MathePower
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