Uneigentliches Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:49 So 20.03.2011 | | Autor: | DesterX |
Hallo zusammen.
Ich habe folgendes Problem:
Es seien $f, g$ zwei stetig differenzierbare Fkt'en mit $f, g >0$.
Nun möchte ich zeigen, dass für $0 < a$
[mm] $\lim_{b \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} [/mm] f(x) [mm] e^{- g(x)} [/mm] \ dx $
konvergiert.
Wenn ich $ f [mm] \rightarrow [/mm] 0$ und $g > 0$ voraussetze, gebe es dann Resultate, die mir die Konvergenz des Integrals sichern?
Oder brauche ich noch viel mehr? Z.B $g [mm] \rightarrow \infty$?
[/mm]
Hat vielleicht jemand eine Idee?
Grüße und vielen Dank im Voraus, Dester
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Huhu,
der Satz gilt offensichtlich nicht.
Wähle $g(x) [mm] \equiv [/mm] 1, f(x) = [mm] \bruch{1}{1+x}$
[/mm]
Dann sind f,g stetig differenzierbare Funktionen auf [mm] [a,\infty) [/mm] für a>0 mit f,g>0
Aber:
$ [mm] \lim_{b \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} [/mm] f(x) [mm] e^{- g(x)} [/mm] \ dx = [mm] \lim_{b \rightarrow \infty} \bruch{1}{e} \int_{a}^{b} \bruch{1}{1+x} [/mm] \ dx = [mm] \lim_{b \rightarrow \infty} \bruch{1}{e}\left(\ln(1+b) - \ln(1+a)\right) [/mm] = [mm] +\infty$
[/mm]
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:21 So 20.03.2011 | | Autor: | DesterX |
Ok, vielen Dank.
Was ist denn, falls $g [mm] \rightarrow \infty$ [/mm] ?
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Huhu,
> Was ist denn, falls [mm]g \rightarrow \infty[/mm] ?
Was willst du eigentlich machen? Raten bringt dich nicht weiter.
Nimm $f(x) = [mm] \bruch{1}{\sqrt{1+x}}, [/mm] g(x) = [mm] \ln(\sqrt{1+x})$, [/mm] dann konvergiert das Integral wegen
[mm] \int_a^b f(x)e^{-g(x)}\,dx [/mm] = [mm] \int_a^b \bruch{1}{\sqrt{1+x}}*\bruch{1}{\sqrt{1+x}}\, [/mm] dx = [mm] \ln(1+b) [/mm] - [mm] \ln(1+a)$ [/mm] immer noch nicht.
MFG,
Gono.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:44 So 20.03.2011 | | Autor: | DesterX |
Du hast natürlich vollkommen recht.
Präzise gesagt: Ich weiß, f und g sind stetig diff'bar,
$f [mm] \rightarrow [/mm] 0$
$g [mm] \rightarrow [/mm] 0$
$f,g > 0$
und das Integral
[mm] $\int_a^b [/mm] f(x) [mm] e^{- h(x)} [/mm] \ dx$.
Dabei ist $h(x):= [mm] \int_x^b [/mm] g(u) \ du$. Im mir vorliegenden Text steht, dass das Integral konvergiert. Da dessen Konvergenz nicht nachgewiesen wird, dachte ich, es gäbe uU einige einfache Sätze, auf die ich zurückgreifen kann bzw vielleicht ein "bekannte Majorante", die hier Anwendung finden könnte.
Ist sowas evtl bekannt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:06 So 20.03.2011 | | Autor: | Gonozal_IX |
Huhu,
ein paar Fragen zu deiner Notation:
> Präzise gesagt: Ich weiß, f und g sind stetig diff'bar,
> [mm]f \rightarrow 0[/mm]
> [mm]g \rightarrow 0[/mm]
Vorher sollte [mm] $g\to\infty$ [/mm] gelten oder ist das ein Schreibfehler?
> [mm]\int_a^b f(x) e^{- \int_x^b g(u) du} \ dx[/mm].
Hat das Integral im Integral, also [mm] $\int_x^b [/mm] g(u) du$ wirklich die gleiche Obergrenze wie das äußere Integral, die nachher gegen unendlich läuft?
Oder ist das nur in der Notation hier im Forum zufällig identisch?
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:27 So 20.03.2011 | | Autor: | DesterX |
Ich habe das nun etwas präziser geschrieben (und wohl auch verwirrender, sorry!)
Ich habe nun oben in der e-Fkt. ein Integral, das möglicherweise divergiert, obwohl die Funktion im Integral gegen Null strebt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:30 So 20.03.2011 | | Autor: | Gonozal_IX |
Huhu,
> Ich habe das nun etwas präziser geschrieben (und wohl auch
> verwirrender, sorry!)
Also geänderst hast du jetzt nichts....
> Ich habe nun oben in der e-Fkt. ein Integral, das
> möglicherweise divergiert, obwohl die Funktion im Integral
> gegen Null strebt
Ja, aber momentan hat das Integral IM Integral die gleiche Obergrenze (nämlich b) wie das Integral aussen.
Und b soll doch nachher gegen Unendlich gehen, oder nicht?
Ist das korrekt, dass BEIDE Integrale dieSELBE Obergrenze b haben und [mm] $b\to \infty$ [/mm] ?
Und du willst dann wissen, ob der Grenzwert für [mm] $b\to\infty$ [/mm] konvergiert?
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:48 So 20.03.2011 | | Autor: | DesterX |
Ja, genau, die haben beide die gleiche obere Grenze, das ist vollkommen richtig so! Die untere Grenze ist ebenfalls so korrekt.
Hab den Text in Frage auch nochmal übersichtlicher gestaltet.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:22 Di 22.03.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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