Uneigentliches Integral < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:43 Mo 08.10.2012 | | Autor: | per |
| Aufgabe | | Untersuchen Sie das uneigentliche Integral [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{ln x}{x} dx} [/mm] |
Hallo! Da der Logarithmus nicht mein Freund ist und im Kontext mit Integration noch viel weniger, wollte ich einmal fragen, wer mir einen Hinweis geben möchte, damit ich zumindest den Ansatz begreife. Ich schätze mal, dass mir an dieser Stelle das Handwerkliche abhanden geht.
Der erste Schritt ist für mich zunächst einmal folgender:
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{ln x}{x} dx} [/mm] = [mm] \limes_{b\rightarrow0} \integral_{b}^{1}{\bruch{ln x}{x} dx} [/mm]
Dann dachte ich, hilft mir eventuell folgendes Umformen:
[mm] \limes_{b\rightarrow0} \integral_{b}^{1}{\bruch{ln x}{x} dx} [/mm] = [mm] \limes_{b\rightarrow0} \integral_{b}^{1}{ln x * x^{-1} dx}
[/mm]
Ab hier dachte ich an partielle Integration, da [mm] x^{-1} [/mm] = (ln x)' ist. Aber das führt bei mir nicht zum Ziel. Über Hinweise wäre ich erfreut. Gruß, Per
|
|
| |
|
Hallo Per,
> Ab hier dachte ich an partielle Integration, da [mm]x^{-1}[/mm] =
> (ln x)' ist.
Richtig. Probiere es nochmals mit partieller Integration. Damit lässt sich eine Stammfunktion zu [mm] \bruch{\ln x}{x} [/mm] finden.
> Aber das führt bei mir nicht zum Ziel. Über
> Hinweise wäre ich erfreut. Gruß, Per
Probiere es einfach nochmals. Ich glaube mit du bist auf einem guten Weg.
Mit
$ f(x) = [mm] \ln [/mm] x $
steht da (zunächst als unbestimmtes Integral):
$ [mm] \integral_{}^{}{f*f' \ dx} [/mm] = ... $
So, jetzt nochmal du...
Grüße
franzzink
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 Mo 08.10.2012 | | Autor: | per |
Ich würd deine Anspielung gerne verwenden können, nur komme ich nicht auf einen Ast. Bei partieller Integration lande ich bei:
[mm] \integral{ln x * x^{-1} dx} [/mm] = (ln [mm] x)^{2} [/mm] - [mm] \integral{ln x * x^{-1} dx}
[/mm]
Das scheint mir schon einmal falsch zu sein. Vertausche ich die Funktionen, dann komme ich auf folgendes Ergebnis:
[mm] \integral{ln x * x^{-1} dx} [/mm] = lnx - 1 + [mm] \integral{\bruch{x*lnx - x}{x} dx} [/mm] = lnx + x*lnx - 2x - 1 + c
Damit könnte man immerhin schon einmal einsetzen. Aber ich gehe stark davon aus, dass ich etwas falsch gemacht habe. Ansonsten würde ich als Grenzwert des Ganzen
[mm] \limes_{b\rightarrow0}\integral{ln x * x^{-1} dx} [/mm] = -3 - (1-1) = -3
herausbekommen ... Wohl aber unwahrscheinlich, was. Gruß, Per
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:36 Mo 08.10.2012 | | Autor: | fred97 |
Aus
$ [mm] \integral{ln x \cdot{} x^{-1} dx} [/mm] $ = (ln $ [mm] x)^{2} [/mm] $ - $ [mm] \integral{ln x \cdot{} x^{-1} dx} [/mm] $
folgt doch, dass
$ [mm] 2\integral{ln x \cdot{} x^{-1} dx} [/mm] $ = (ln $ [mm] x)^{2} [/mm] $ +C
ist !
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:45 Mo 08.10.2012 | | Autor: | per |
Das macht durchaus Sinn und sollte letztlich offensichtlich sein. Aber einige verwehren sich solcher Schlussfolgerungen immer wieder erfolgreich. Mit dem nun aber Gegebenen, würde ich dann schlussfolgern, dass der Grenzwert
[mm] \limes_{b\rightarrow\0}\integral_{b}^{1}{lnx*x^{-1} dx} [/mm] = 0 - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2}
[/mm]
ist? Vielen Dank für die Hilfe!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:57 Mo 08.10.2012 | | Autor: | franzzink |
Hallo Per,
dein Ergebnis stimmt so nicht.
mach' es nochmal Schritt für Schritt.
Was ist die gesuchte Stammfunktion?
Wie rechnest du danach weiter?
Grüße
franzzink
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:06 Mo 08.10.2012 | | Autor: | per |
Ok, folgende Schritte bin ich durchlaufen:
Nach Freds Hinweis habe ich nach Anwenden der partiellen Integration folgende Gleichung erhalten:
[mm] 2\integral{lnx*x^{-1} dx} [/mm] = [mm] (lnx)^{2} [/mm] + c [mm] \gdw \integral{lnx*x^{-1} dx} [/mm] = [mm] \bruch{(lnx)^{2}}{2} [/mm]
Mit den Intervalgrenzen komme ich dann auf:
[mm] \limes_{b\rightarrow0}\integral_{b}^{1}{lnx*x^{-1} dx} [/mm] = [mm] \bruch{(lnx)^{2}}{2}\vmat{ 1 \\ b} [/mm]
So, und gerade eben hat mir Wolframalpha geflüstert, dass ln(0) nicht 1 ist, sondern [mm] -\infty. [/mm] Ok, dann wäre das Ergebnis vll:
0 - [mm] (-\infty) [/mm] = [mm] \infty [/mm] ?
Gruß, Per
|
|
|
| |
|
Hallo,
wenn schon, dann:
[mm] \lim\ ...\ = [/mm] " [mm]0 -(-\infty)^2 [/mm] " [mm] = -\infty [/mm]
Grüße
franzzink
|
|
|
|
