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Unend. Reihe auf Konv. prüfen: Aufgabe1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:36 So 18.01.2015
Autor: jengo32

Aufgabe
[mm] 1+(\bruch{8}{9})^2+(\bruch{10}{12})^3+(\bruch{12}{15})^4+... [/mm]

Hallo,

ich soll obrige Reihe auf Konvergenz überprüfen, bin mir aber nicht im klaren wie.

Mein Ansatz war es, erst einmal die Reihe so umzuschreiben:

[mm] (\bruch{6}{6})^1+(\bruch{8}{9})^2+(\bruch{10}{12})^3+(\bruch{12}{15})^4+... [/mm]

und daraus das Bildungsgesetz herzuleiten welches folgendes ist:

[mm] (\bruch{2n+4}{3n+3})^n [/mm]

Wie muss ich jetzt weiter vorgehen?

Ich wäre nun mit dem Wurzelkriterium weiter vorgegangen, da ich einen exponenten "n" habe.

Nun hätte ich die [mm] \wurzel[n]{ } [/mm] gezogen und hätte :

[mm] \bruch{2n+4}{3n+3} [/mm] raus.

Kann ich, da der Zählergrad gleich dem Nennergrad ist, nun 2/3 als meinen Grenzwertbetrachten und da 2/3 < 1 ist konvergiert die Reihe?

Bitte um Hilfe, stehe etwas auf dem Schlauch =)

Jengo

        
Bezug
Unend. Reihe auf Konv. prüfen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:49 So 18.01.2015
Autor: DieAcht

Hallo jengo32!


Am Ende musst du genauer arbeiten. Es ist

      [mm] \bruch{2n+4}{3n+3}=\frac{2+\frac{4}{n}}{3+\frac{3}{n}} [/mm]

und mit den Grenzwertsätzen folgt

      [mm] \lim_{n\to\infty}\left(\bruch{2n+4}{3n+3}\right)=\frac{2}{3}<1. [/mm]


Sonst ist alles in Ordnung. [ok]


Gruß
DieAcht

Bezug
                
Bezug
Unend. Reihe auf Konv. prüfen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:54 So 18.01.2015
Autor: jengo32

Hallo DieAcht :-)


> Am Ende musst du genauer arbeiten. Es ist
>  
> [mm]\bruch{2n+4}{3n+3}=\frac{2+\frac{4}{n}}{3+\frac{3}{n}}[/mm]

Ist hier das "n" einfach nur ausgeklammert worden?  

> und mit den Grenzwertsätzen folgt
>  
> [mm]\lim_{n\to\infty}\left(\bruch{2n+4}{3n+3}\right)=\frac{2}{3}<1.[/mm]
>  

Zum Verständnis: War es richtig das ich auf [mm] \bruch{2}{3} [/mm] komme, weil der Zählergrad gleich dem Nennergrad war, oder hat das einen anderen Grund ?

>
> Sonst ist alles in Ordnung. [ok]
>  

Super :)

>
> Gruß

Gruß zurück und danke für die schnelle Hilfe


Bezug
                        
Bezug
Unend. Reihe auf Konv. prüfen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:58 So 18.01.2015
Autor: M.Rex

Hallo

> Hallo DieAcht :-)

>
>

> > Am Ende musst du genauer arbeiten. Es ist
> >
> > [mm]\bruch{2n+4}{3n+3}=\frac{2+\frac{4}{n}}{3+\frac{3}{n}}[/mm]

>

> Ist hier das "n" einfach nur ausgeklammert worden?

Ja, und dann gekürzt

>

> > und mit den Grenzwertsätzen folgt
> >
> >
> [mm]\lim_{n\to\infty}\left(\bruch{2n+4}{3n+3}\right)=\frac{2}{3}<1.[/mm]
> >
> Zum Verständnis: War es richtig das ich auf [mm]\bruch{2}{3}[/mm]
> komme, weil der Zählergrad gleich dem Nennergrad war, oder
> hat das einen anderen Grund ?

Wenn du
[mm] \frac{2+\frac{4}{n}}{3+\frac{3}{n}} [/mm] hast, und [mm] n\to\infty [/mm] laufen lässt, bekommst du doch [mm] \frac{2+0}{3+0}=\frac{2}{3} [/mm]

> >
> > Sonst ist alles in Ordnung. [ok]
> >
> Super :)
> >
> > Gruß
> Gruß zurück und danke für die schnelle Hilfe

>

Marius

Bezug
                                
Bezug
Unend. Reihe auf Konv. prüfen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:02 So 18.01.2015
Autor: jengo32

Vielen Dank,

ist klar geworden :)!

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