Unendlich viele Lösungen? < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:57 So 22.11.2009 | | Autor: | bolzen |
| Aufgabe | | Warum hat [mm] a^2-3b^2=1 [/mm] unendlich viele ganzzahlige Lösungen? |
Ich bin in einer Aufgabe auf diese Gleichung gestoßen und muss jetzt zeigen, dass die unendlich viele Lösungen besitzt. Ich habe schon ein paar Werte mit dem Taschenrechner ausprobiert aber ich weiß keinen Beweis.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:38 So 22.11.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Du kannst nach a oder nach b umstellen.
Wenn du nach a umstellst kannst du sagen: Für jedes b, was man einsetzt, erhältst du ein a. Damit hast du ja unendlich viele Lösungen, da du unendlich viele Werte für b einsetzen kannst.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:19 Mo 23.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Dazu muß man aber wissen (wenn man nach a umstellt), dass
[mm] 1+3b^2
[/mm]
für unendlich viele ganzen Zahlen b eine Quadratzahl liefert.
Ist das s0 ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:07 Mo 23.11.2009 | | Autor: | bolzen |
> Dazu muß man aber wissen (wenn man nach a umstellt), dass
>
> [mm]1+3b^2[/mm]
>
> für unendlich viele ganzen Zahlen b eine Quadratzahl
> liefert.
>
> Ist das s0 ?
>
Das muss ich zeigen!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:19 Mo 23.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> > Dazu muß man aber wissen (wenn man nach a umstellt), dass
> >
> > [mm]1+3b^2[/mm]
> >
> > für unendlich viele ganzen Zahlen b eine Quadratzahl
> > liefert.
> >
> > Ist das s0 ?
> >
> Das muss ich zeigen!!!
So ist es
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:28 Mo 23.11.2009 | | Autor: | bolzen |
Damit wären wir wieder bei meinem eigentlichen Problem:
Wie zeige ich, dass diese Gleichung unendlich viele Lösungen besitzt?
Das Problem ist ja das Quadrat beim a.
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Hallo bolzen,
hier mal die (bis dahin vollständigen) ersten Werte, die Deine Gleichung lösen:
[mm] \begin{matrix}
i & b_i & rekursiv & a_i & rekursiv \\
0 & 0 & & 1 & \\
1 & 1 & & 2 & \\
2 & 4 & =4b_1-b_0 & 7 & =4a_1-a_0 \\
3 & 15 & =4b_2-b_1 & 26 & =4a_2-a_1 \\
4 & 56 & =4b_3-b_2 & 97 & =4a_3-a_2 \\
5 & 209 & =4b_4-b_3 & 362 & =4a_4-a_3 \\
6 & 780 & =4b_5-b_4 & 1351 & =4a_5-a_4 \\
7 & 2911 & =4b_6-b_5 & 5042 & =4a_6-a_5 \\
8 & 10864 & =4b_7-b_6 & 18817 & =4a_7-a_6 \\
\end{matrix}
[/mm]
Untersuch doch mal, ob das so weitergeht. 
edit: die dritte Spalte habe ich noch nachgetragen, man weiß ja nie, wofür es mal gut ist...
lg
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:27 Mo 23.11.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
War wohl zu spät und habe das ganzzahlig überlesen. Tut mir Leid.
Aber Al reverend ('tschuldige) hat ja die Situation entschärft. :>
Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:29 Mo 23.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hi!
>
> War wohl zu spät und habe das ganzzahlig überlesen. Tut
> mir Leid.
> Aber Al hat ja die Situation entschärft. :>
Al hat sich aber bislang an dieser Diskussion noch gar nicht beteiligt !
FRED
>
> Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:31 Mo 23.11.2009 | | Autor: | Teufel |
Ich sollte schlafen gehen, da stimmst du mir sicher zu.
Meinte natürlich reverend!
Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:35 Mo 23.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Ich sollte schlafen gehen, da stimmst du mir sicher zu.
jetzt schon ? 13:35 /Uhr ?
FRED
>
> Meinte natürlich reverend!
>
> Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:37 Mo 23.11.2009 | | Autor: | Teufel |
Anscheinend schon.
Teufel
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