Unendliche Gruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:07 Sa 07.02.2009 | | Autor: | Pawelos |
Hi
Kann mir jemand ein möglichst einfaches Beispiel für eine unendliche Gruppe in der jedes Element endliche Ordnung hat geben??!?
"Beispiel einer unendlichen p-Gruppe: Betrachte die Menge aller rationalen Zahlen, deren Nenner 1 oder eine Potenz der Primzahl p ist. Mit der Addition dieser Zahlen modulo 1 erhalten wir eine unendliche abelsche p-Gruppe."
Ein Beispiel aus Wikipedia, aber ich verstehe nicht ganz wie die Addition funktioniert.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:18 Sa 07.02.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Kann mir jemand ein möglichst einfaches Beispiel für eine
> unendliche Gruppe in der jedes Element endliche Ordnung hat
> geben??!?
Das einfachste Beispiel ist wohl [mm] $\IQ [/mm] / [mm] \IZ$ [/mm] mit der Addition.
Das Element [mm] $\frac{1}{2} [/mm] + [mm] \IZ$ [/mm] hat z.B. Ordnung 2: da [mm] $\frac{1}{2} \not\in \IZ$ [/mm] ist ist [mm] $\frac{1}{2} [/mm] + [mm] \IZ$ [/mm] ungleich dem neutralen Element, allerdings ist [mm] $(\frac{1}{2} [/mm] + [mm] \IZ) [/mm] + [mm] (\frac{1}{2} [/mm] + [mm] \IZ) [/mm] = [mm] (\frac{1}{2} [/mm] + [mm] \frac{1}{2}) [/mm] + [mm] \IZ [/mm] = 1 + [mm] \IZ [/mm] = [mm] \IZ$ [/mm] da $1 [mm] \in \IZ$ [/mm] ist, womit dies das neutrale Element ist.
Wenn du einen allgemeinen Bruch [mm] $\frac{a}{b}$ [/mm] hast, dann ist $b [mm] \cdot \frac{a}{b} \in \IZ$, [/mm] womit die Ordnung von [mm] $\frac{a}{b} [/mm] + [mm] \IZ$ [/mm] ein Teiler von $b$ ist.
> "Beispiel einer unendlichen p-Gruppe: Betrachte die Menge
> aller rationalen Zahlen, deren Nenner 1 oder eine Potenz
> der Primzahl p ist. Mit der Addition dieser Zahlen modulo 1
> erhalten wir eine unendliche abelsche p-Gruppe."
Das ist fast so wie [mm] $\IQ [/mm] / [mm] \IZ$, [/mm] wobei man eine Untergruppe von [mm] $\IQ$ [/mm] nimmt, naemlich [mm] $\IZ_p [/mm] = [mm] \{ \frac{a}{p^i} \mid a \in \IZ, i \in \IN \}$: [/mm] es ist ja [mm] $\frac{a}{p^i} [/mm] + [mm] \frac{b}{p^j} [/mm] = [mm] \frac{p^j a + p^i b}{p^{i+j}}$ [/mm] wieder von der Form [mm] $\frac{c}{p^k}$ [/mm] mit $k = i + j [mm] \in \IN$ [/mm] und $c = [mm] p_j [/mm] a + [mm] p^i [/mm] b [mm] \in \IZ$.
[/mm]
Da hast du genau das gleiche: die Ordnung von [mm] $\frac{a}{p^i} [/mm] + [mm] \IZ$ [/mm] ist ein Teiler von [mm] $p^i$, [/mm] insbesondere also endlich.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:06 So 08.02.2009 | | Autor: | Pawelos |
Hi
Ich hatte bei dem Beispiel Zähler und Nenner verwechselt und da hat das natürlich wenig Sinn gemacht. Jetzt ist alles klar!!
Viele dank!!!
|
|
|
|
