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| Aufgabe | Zeigen sie mit Hilfe des Cauchy-Produkts von Reihen die Formel
2 C(x)² = C(2x) + 1
Mit C(x) := [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{(2n)!} x^{2n}
[/mm]
Hinweis: Hinweis: Zeigen Sie zuerst für alle natürlichen Zahlen n [mm] \ge [/mm] 1 mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes:
[mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{2n \\ 2k} [/mm] = [mm] 2^{2n-1} [/mm] |
Hallo ich habe diese Frage gestern schon in diesem Forum gestellt
hier: https://matheraum.de/read?i=799866
Ich werde meinen Lösungsweg nochmals vollständig und übersichtlich aufschreiben, da sie in der vorherigen sehr unübersichtlich wurde.
Ich fange mit der Linken Seite der Gleichung an und versuche auf die Rechte seite zu kommen
2 [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{(2n)!} x^{2n} [/mm]
Nach Cauchy-Produkt
2 [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \summe_{k=0}^{n} \bruch{(-1)^{k}}{(2k)!} x^{2k} \bruch{(-1)^{n-k}}{(2n-2k)!} x^{2n-2k} [/mm] = 2 [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \summe_{k=0}^{n} \bruch{(-1)^{n}}{(2k)!(2n-2k)!} x^{2n}
[/mm]
Erweitert mit [mm] \bruch{(2n)!}{(2n)!}
[/mm]
2 [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \summe_{k=0}^{n} \bruch{(-1)^{n} (2n)!}{(2n)!(2k)!(2n-2k)!} x^{2n} [/mm] =2 [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \summe_{k=0}^{n} \bruch{(-1)^{n}}{(2n)!} \vektor{2n \\ 2k} x^{2n} [/mm] = 2 [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \summe_{k=0}^{n} \bruch{(-1)^{n}}{(2n)!} 2^{2n-1} x^{2n} [/mm] = 2 [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{(2n)!} 2^{2n-1} x^{2n} [/mm]
Die 2 ist eine Konstante und kann sie deshalb problemlos in die Summe ziehen
= [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{(2n)!} 2^{2n} x^{2n} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{(2n)!} (2x)^{2n}
[/mm]
Jetzt wäre ich eigentlich fertig. Jedoch fehlt mir die +1 nach der Summe ...
Ich hoffe das der Weg so übersichtlich ist und ihr den Fehler entdecken könnt. Ich danke schon einmal im Voraus :)
mfg der Iwan
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Hallo Iwan,
bitte keine Doppelposts fabrizieren, du hast eine identische Frage bereits gestellt.
Mache in dem anderen thread weiter, diesen stelle ich auf "Für Interessierte"
Gruß
schachuzipus
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