Unendliche Tensorprodukte < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:40 So 30.01.2011 | | Autor: | pelzig |
| Aufgabe | Sei [mm](E_i)_{i\in\IN}[/mm] eine Familie von [mm]\IK[/mm]-Vektorräumen. Zeigen Sie, dass die Algebren [mm]\mathcal{L}\left(\bigotimes_{i\in\IN}E_i\right)[/mm] und [mm]\bigotimes_{i\in\IN}\mathcal{L}(E_i)[/mm] isomorph sind.
(Hierbei bezeichnet [mm]\mathcal{L}(E)[/mm] die Menge der linearen Endomorphismen auf [mm]E[/mm]) |
Hallo,
Unser Prof. war wiedermal so reizend uns diese Aufgabe vorzusetzen, wo wir doch bisher nur endliche Tensorprodukte behandelt haben. Wie ist das hier definiert? Kann ich einfach die Universelle Eigenschaft benutzen, dass multilineare Abbildungen von [mm]\prod_{i\in\IN}E_i[/mm] in einen [mm]\IK[/mm]-Vektorraum [mm]X[/mm] eindeutig über [mm]\bigotimes_{i\in\IN}E_i[/mm] faktorisieren?
Ein ganz anderes Problem: Wie sieht eigentlich die Algebra-Struktur auf [mm] $\bigotimes_{i\in\IN}\mathcal{L}(E_i)$ [/mm] aus? Dafür bräuchte man dann ja noch das (abzählbare) Tensorprodukt von [mm] $\IK$-Algebren. [/mm] Ich habe gelesen, dass es das gibt und dass es das Koprodukt in der Kategorie der [mm] $\IK$-Algebren [/mm] ist... nunja.
Gruß, Robert
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:32 So 30.01.2011 | | Autor: | Merle23 |
> Wie ist das hier definiert? Kann ich
> einfach die Universelle Eigenschaft benutzen, dass
> multilineare Abbildungen von [mm]\prod_{i\in\IN}E_i[/mm] in einen
> [mm]\IK[/mm]-Vektorraum [mm]X[/mm] eindeutig über [mm]\bigotimes_{i\in\IN}E_i[/mm]
> faktorisieren?
Für Vektorräume ist das die richtige universelle Eigenschaft. Kann man auch für beliebige Familien hernehmen (die aus mehr als abzählbar vielen Vektorräumen bestehen).
> Ein ganz anderes Problem: Wie sieht eigentlich die
> Algebra-Struktur auf [mm]\bigotimes_{i\in\IN}\mathcal{L}(E_i)[/mm]
> aus? Dafür bräuchte man dann ja noch das (abzählbare)
> Tensorprodukt von [mm]\IK[/mm]-Algebren. Ich habe gelesen, dass es
> das gibt und dass es das Koprodukt in der Kategorie der
> [mm]\IK[/mm]-Algebren ist... nunja.
Die Algebra-Struktur ist die [mm] kanonische:$$(\bigotimes_{i \in I}\varphi_i) \cdot (\bigotimes_{i \in I}\psi_i) [/mm] := [mm] \bigotimes_{i \in I}(\varphi_i \cdot \psi_i).$$
[/mm]
Bei Algebra-Tensorprodukten muss man aber eine veränderte universelle Eigenschaft benutzen (welche der Aussage entspricht, dass das Tensorprodukt das Koprodukt sein soll in der entsprechenden Kategorie):
Es seien [mm]\alpha: A \to A \otimes B, a \mapsto a \otimes 1_B[/mm] und [mm]\beta: B \to A \otimes B, b \mapsto 1_A \otimes b[/mm] die kanonischen Einbettungen. Dann gibt es zu beliebigen Algebra-Homomorphismen [mm]f: A \to C, g: B \to C[/mm] mit [mm]f(a)g(b) = g(b)f(a)[/mm] für alle [mm]a \in A, b \in B[/mm] genau einen Algebra-Homomorphismus [mm]h: A \otimes B \to C[/mm], so dass [mm]f = h \circ \alpha[/mm] und [mm]g = h \circ \beta[/mm].
Die Forderung, dass die Bilder der Abbildungen kommutieren müssen, folgt aus der Rechnung [mm](1_A \otimes b)(a \otimes 1_B) = a \otimes b = (a \otimes 1_B)(1_A \otimes b).[/mm] Hat man nämlich [mm]f, g[/mm] und [mm]h[/mm] wie oben gegeben, so gilt zum Einen [mm]h(a \otimes b) = h((1_A \otimes b)(a \otimes 1_B)) = h(1_A \otimes b)h(a \otimes 1_B) = g(b)f(a)[/mm] und zum Anderen [mm]h(a \otimes b) = h((a \otimes 1_B)(1_A \otimes b)) = \ldots = f(a)g(b),[/mm] d.h. die Kommutativität des Diagramms erzwingt die Kommutativität von f(a) und g(b) für alle a,b.
LG, Alex
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:17 Mo 31.01.2011 | | Autor: | pelzig |
Danke erstmal, aber so ganz klar finde ich das jetzt noch nicht. Also Wenn ich eine Familie [mm](A_i)_{i\in I}[/mm] von [mm]\IK[/mm]-Algebren habe, dann gibt es jetzt also eine [mm]\IK[/mm]-Algebra [mm]A=\coprod_i A_i[/mm] mit Morphismen [mm]j_i:A_i\to A[/mm] für alle [mm]i[/mm], sodass folgende Universelle Eigenschaft erfüllt ist:
Zu jeder Familie [mm](f_i)_i[/mm] von Morphismen [mm]f_i:A_i\to B[/mm] in eine [mm]\IK[/mm]-Algebra $B$ gibt es genau einen Morphismus [mm]f:A\to B[/mm] mit [mm]f_i=f\circ j_i[/mm], d.h. [mm](A,(j_i)_i)[/mm] ist ein Korprodukt in der Kategorie der [mm]\IK-\operatorname{Alg}[/mm] der [mm]\IK[/mm]-Algebren.
So jetzt habe ich mir also abstrakt ein Koprodukt in [mm]\IK-\operatorname{Alg}[/mm] verschafft, aber wo ist der Zusammenhang zum Tensorprodukt von Vektorräumen? Ich mein ich weiß nun a priori weder, dass [mm]\coprod_i A_i\cong\bigotimes_i A_i[/mm] im Sinne der [mm]\IK[/mm]-Vektorräume ist (und ich glaube gelesen zu haben, dass das im unendlichen Fall auch nicht stimmt), zum anderen weiß ich nun gar nicht, wie die Multiplikation in [mm]\coprod A_i[/mm] aussieht, denn was soll [mm]\otimes_i a_i[/mm] überhaupt bedeuten, d.h. was ist die Abbildung [mm]\otimes:\prod_i A_i\to \coprod_i A_i[/mm] ?
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:20 Mo 31.01.2011 | | Autor: | Merle23 |
Du hast recht, über die Existenz / Konstruktion habe ich in meiner obigen Antwort kein einziges Wort verloren. Ich habe im Internet folgende Quelle gefunden: ![[]](/images/popup.gif) Link.
LG, Alex
|
|
|
|
