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Forum "Uni-Stochastik" - Unendliche W-Räume / [0,1]
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Unendliche W-Räume / [0,1]: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:08 Fr 06.11.2009
Autor: Mary1986

Aufgabe
Sie wählen eine zufällige Zahl a aus [0,1] und streichen jede zweite Dezimalziffer, beginnend bei der ersten Ziffer nach dem Komma:
aus a= 0,835693... wird 0,363...

i) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die entstehende Zahl höchstens gleich [mm]\bruch{1}{5}[/mm]?

ii) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die entstehende Zahl gleich [mm]\bruch{1}{10}[/mm]?

Hallo!
Also ich habe mit dieser Aufgabe so meine Probleme... ich würde erstmal folgendes definieren
[mm]\Omega = [0,1] [/mm]
[mm]A= \left\{ \omega \in [0,1] | \omega \le 0,2 \right\} [/mm] für i)
[mm]B= \left\{ \omega \in [0,1] | \omega = 0,1 \right\} [/mm] für ii)
unser Prof hatte in nem Beispiel mal angegeben dass man dann in folgendem Wahrscheinlichkeitsraum rechnen muss ([0,1],B,L) Wobei das B die Borel'sche Algebra ist, aber was das L ist weiß ich nicht.
Meine erste Frage, warum kann ich nicht in ([0,1],A,P) rechnen also mit der sigmaalgebra???
Und dann fehlt mir jetzt auch jeder weitere Ansatz wie ich mit dieser Aufgabe umgehen soll...
Ich wäre für eure Hilfe sehr dankbar!
Liebe Grüße
Mary

        
Bezug
Unendliche W-Räume / [0,1]: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:27 Fr 06.11.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> Sie wählen eine zufällige Zahl a aus [0,1] und streichen
> jede zweite Dezimalziffer, beginnend bei der ersten Ziffer
> nach dem Komma:
>  aus a= 0,835693... wird 0,363...
>  
> i) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die entstehende Zahl
> höchstens gleich [mm]\bruch{1}{5}[/mm]?
>  
> ii) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die entstehende Zahl
> gleich [mm]\bruch{1}{10}[/mm]?
>  
> Hallo!
> Also ich habe mit dieser Aufgabe so meine Probleme... ich
> würde erstmal folgendes definieren
>  [mm]\Omega = [0,1][/mm]
>  [mm]A= \left\{ \omega \in [0,1] | \omega \le 0,2 \right\}[/mm]
> für i)
>  [mm]B= \left\{ \omega \in [0,1] | \omega = 0,1 \right\}[/mm] für
> ii)
>  unser Prof hatte in nem Beispiel mal angegeben dass man
> dann in folgendem Wahrscheinlichkeitsraum rechnen muss
> ([0,1],B,L) Wobei das B die Borel'sche Algebra ist, aber
> was das L ist weiß ich nicht.
> Meine erste Frage, warum kann ich nicht in ([0,1],A,P)
> rechnen also mit der sigmaalgebra???
>  Und dann fehlt mir jetzt auch jeder weitere Ansatz wie ich
> mit dieser Aufgabe umgehen soll...
>  Ich wäre für eure Hilfe sehr dankbar!
>  Liebe Grüße
>  Mary


Hallo Mary,

verstehe ich das richtig: a ist eine reelle Zahl aus einer
Gleichverteilung im Intervall [0;1), wobei man annehmen
darf, dass alle unendlich vielen Nachkommastellen in
[mm] \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\} [/mm] gleichverteilt sind (das hat dann
allerdings den kleinen Nachteil, dass die Zahlen mit abbre-
chenden Dezimaldarstellungen auf zwei Arten dargestellt
werden können, nämlich mit einem Nullen- oder aber
mit einem Neuner-"Schwanz"), was aber für die vorlie-
gende Aufgabe unerheblich sein sollte.
Wenn wir nun in der angegebenen Weise jede zweite
Dezimalstelle herausstreichen, haben wir doch nach dieser
Operation genau wieder eine analoge Zahl a' mit unendlich
vielen, gleichverteilten Dezimalziffern. Also sind auch die
so entstehenden Zahlen a' gleichverteilt auf dem Intervall.
Da gibt's dann gar nicht viel zu rechnen ...

LG


Bezug
                
Bezug
Unendliche W-Räume / [0,1]: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:43 Fr 06.11.2009
Autor: Fry

Hallo,

muss man dann also mit geometrischen Wkeiten rechnen ?

Also

[mm] P(A)=\frac{\lambda([0,1/5])}{\lambda([0,1])}=\frac{1/5}{1}=1/5 [/mm]

[mm] P(B)=\frac{\lambda({0,1})}{\lambda([0,1])}=\frac{0}{1}=0 [/mm]

wobei [mm] \lambda [/mm] das 1-dim Lebesgue-Maß auf [mm] \IR [/mm] ist.

Oder wie soll das funktionieren ?

LG
Fry

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Bezug
Unendliche W-Räume / [0,1]: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:55 Fr 06.11.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo,
>  
> muss man dann also mit geometrischen Wkeiten rechnen ?
>  
> Also
>
> [mm]P(A)=\frac{\lambda([0,1/5])}{\lambda([0,1])}=\frac{1/5}{1}=1/5[/mm]
>  
> [mm]P(B)=\frac{\lambda({0,1})}{\lambda([0,1])}=\frac{0}{1}=0[/mm]
>
> wobei [mm]\lambda[/mm] das 1-dim Lebesgue-Maß auf [mm]\IR[/mm] ist.


Hallo  Fry,

genau so dachte ich mir das.


Al-Chw.


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Unendliche W-Räume / [0,1]: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:47 Fr 06.11.2009
Autor: Mary1986

Äh Fly... was meinst du mit geometrischer Wahrscheinlichkeit...
und Al-Chwarizmi danke für deine Antwort...
aber mehr als das was in der Aufgabenstellung steht weiß ich dazu leider auch nicht... aber das was du mit der gleichverteilung schreibst ist anzunehmen...
nur muss ich das mit dem rausstreichen ja noch irgendwie in meine Mengen aufnehmen, oder? Wie mach ich denn dass... und ich muss dann ja irgendwie ne wahrscheinlichkeit angeben... da weiß ich auch nicht wie... also das mit dem gleichverteilt hilft mir leider nicht weiter... steh in stochastik noch ganz am anfang...
liebe grüße
mary

Bezug
                        
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Unendliche W-Räume / [0,1]: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:04 Fr 06.11.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> Äh Fly... was meinst du mit geometrischer
> Wahrscheinlichkeit...
>  und Al-Chwarizmi danke für deine Antwort...
>  aber mehr als das was in der Aufgabenstellung steht weiß
> ich dazu leider auch nicht... aber das was du mit der
> gleichverteilung schreibst ist anzunehmen...

Da dort nur "zufällig aus [0;1]" stand, ist das wohl
anzunehmen, obwohl ich mir in einer akademischen
Umgebung wünschen würde, dass die Art der zugrunde
gelegten Wahrscheinlichkeitsverteilung eigentlich
angegeben werden sollte !

>  nur muss ich das mit dem rausstreichen ja noch irgendwie
> in meine Mengen aufnehmen, oder? Wie mach ich denn dass...

Die Sache mit dem Herausstreichen jeder zweiten Ziffer
ist nur ein kleiner "Trick", die Aufgabe etwas schwieriger
aussehen zu lassen, als sie wirklich ist ...
Wie ich schon beschrieben habe, hast du mit oder ohne
dieses Herausstreichen genau dieselbe Grundmenge
und auch die gleichen Wahrscheinlichkeiten.

> und ich muss dann ja irgendwie ne wahrscheinlichkeit
> angeben... da weiß ich auch nicht wie... also das mit dem
> gleichverteilt hilft mir leider nicht weiter... steh in
> stochastik noch ganz am anfang...
>  liebe grüße
>  mary


Zum Thema "geometrische Wahrscheinlichkeit" findest du
bestimmt im Netz ein paar erhellende Seiten.

Gruß     Al-Chwarizmi


Bezug
                                
Bezug
Unendliche W-Räume / [0,1]: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:07 Sa 07.11.2009
Autor: Mary1986

Hi...
ich glaub es hat bei mir gerattert... *g*
wir haben das mit dem Längenmaß gemacht...
und dann ist L(A)=([0, 0,2]) = 0,2
und L(B)=([0,1 , 0,1]) = 0
Aber die Wahrscheinlichkeit von B kann doch garnicht Null sein...
weil als Gegenbeispiel... ich wähle einfach die Zahl 0,111
Oder???
Viele Grüße
Mary


Bezug
                                        
Bezug
Unendliche W-Räume / [0,1]: Paradox der Maßtheorie
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:48 Sa 07.11.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> Hi...
>  ich glaub es hat bei mir gerattert... *g*
>  wir haben das mit dem Längenmaß gemacht...
>  und dann ist L(A)=([0, 0,2]) = 0,2
>  und L(B)=([0,1 , 0,1]) = 0
>  Aber die Wahrscheinlichkeit von B kann doch garnicht Null
> sein...
> weil als Gegenbeispiel... ich wähle einfach die Zahl
> 0,111
>  Oder???
>  Viele Grüße
>  Mary


Hallo Mary,

ja, das scheint irgendwie paradox ! Jede einzelne, absolut
exakt festgelegte Zahl  a  im Intervall [0;1] bildet eine
Menge [mm] \{a\}=[a;a] [/mm] mit dem Wahrscheinlichkeitsmaß Null.
Alle reellen Zahlen a mit $\ [mm] 0\le [/mm] a [mm] \le1$ [/mm]  zusammen bilden
aber das Intervall [0;1] mit dem Wahrscheinlichkeitsmaß Eins.
Das hängt damit zusammen, dass das Intervall so wie die
Menge [mm] \IR [/mm] der reellen Zahlen überabzählbar unendlich ist.
Der Begriff des "Maßes" einer Menge ist also nicht in allen
Fällen "anschaulich" verständlich.

LG   Al-Chw.
  


Bezug
                                                
Bezug
Unendliche W-Räume / [0,1]: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:55 Sa 07.11.2009
Autor: Mary1986

Also ist es aber richtig wenn ich schreibe, dass L(B)=0 ist?!
Und kann ich das irgendwie erklären... also da die Menge überabzählbar unendlich ist und der abstand aber 0... oder sowas?
Sonst bekomm ich nachher wieder nur 2 von 5 Punkten :-(
Dank dir!
Viele Grüße
Mary

Bezug
                                                        
Bezug
Unendliche W-Räume / [0,1]: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:15 So 08.11.2009
Autor: Fry

Hey Mary,

kannst schreiben:
L(B)=0, da B abzählbar ist

Allgemein gilt für Intervalle der Form (a,b), [a,b] usw.
L((a,b))=L([a,b])=...=b-a
und daraus würde sich ja auch obiges ergeben.

Gruß
Fry

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Unendliche W-Räume / [0,1]: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:43 So 08.11.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> Also ist es aber richtig wenn ich schreibe, dass L(B)=0
> ist?!
>  Und kann ich das irgendwie erklären... also da die Menge
> überabzählbar unendlich ist und der abstand aber 0...
> oder sowas?


Hallo Mary,

Die Menge B (mit dem einzigen Element 0.1) ist
natürlich nicht überabzählbar.

Das Lebesgue-Maß einer Menge, die aus nur einem
Punkt, endlich vielen Punkten oder abzählbar
unendlich vielen Punkten von [mm] \IR [/mm] oder von [mm] \IR^n [/mm]
besteht, ist stets gleich Null.

Oder andersrum gesagt: erst Mengen aus überab-
zählbar vielen Punkten haben ein positives Lebesgue-
Maß.

LG    Al-Chw.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Stochastik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


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