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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:16 Mi 27.12.2006 | | Autor: | Unbrain |
Warum konvergiert der unendliche Kettenbruch zum goldenen Schnitt? Ich habe hier zwar die Gleichung, kann sie aber nicht nachvollziehen, darum bitte ich um eine Erklärung (vllt. wäre ein Bildungsgesetz für den unendlichen Kettenbruch hilfreich?)
Der unendliche Kettenbruch für den Goldenen Schnitt ist:
[mm] \Phi [/mm] = [mm] \frac{1}{2} \left(1+\sqrt{5} \right) [/mm] = 1 + [mm] \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + ...}}}}. [/mm]
wäre schon wenn mir das ma jemand aufdrösseln könnte, oder ein Bildungsgesetz für den bruch aufstellen kann.
Mfg
marc
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> Warum konvergiert der unendliche Kettenbruch zum goldenen
> Schnitt? Ich habe hier zwar die Gleichung, kann sie aber
> nicht nachvollziehen, darum bitte ich um eine Erklärung
> (vllt. wäre ein Bildungsgesetz für den unendlichen
> Kettenbruch hilfreich?)
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> Der unendliche Kettenbruch für den Goldenen Schnitt ist:
>
> [mm]\Phi[/mm] = [mm]\frac{1}{2} \left(1+\sqrt{5} \right)[/mm] = 1 +
> [mm]\frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + ...}}}}.[/mm]
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> wäre schon wenn mir das ma jemand aufdrösseln könnte, oder
> ein Bildungsgesetz für den bruch aufstellen kann.
Hallo,
das Bildungsgesetz für Deinen Kettenbruch kannst du als rekursiv definierte Folge aufschreiben:
[mm] a_0:=1
[/mm]
[mm] a_{n+1}:=1+\bruch{1}{a_n}
[/mm]
WENN Du gezeigt hast, daß die Folge gegen einen Wert a konvergiert, kriegst Du den gesuchten Grenzwert leicht aus [mm] a=1+1+\bruch{1}{a}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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