Unendlichkeit der Zahlen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:28 Fr 31.10.2008 | | Autor: | Frank74 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo ihr alle,
ich suche eine Lösung für ein wohl altes Problem, zumindest einen Erklärungsansatz, denn es lässt mir keine Ruhe:
Wurzel2 ist bekannter Weise eine irrationale Zahl, lässt sich also nicht durch einen vollständig gekürzten Bruch darstellen. Soweit so gut. Wenn man aber ein rechtwinkliges Dreieck mit der Seitenlänge 1 konstruiert, so hat die Hypothenuse ja die Länge Wurzel2. Da ich dieses Dreieck zeichnen kann, kann ich auch die Strecke vom Ende des eines Schenkels zum Ende des zweiten Schenkels messen. Wie aber kann man eine irrationale Zahl messen?!
Ähnliches gilt für den Kreis. Dessen Inhalt berechnet sich ja nach Pi X r Quadrat. Auch Pi ist irrational, so dass man den Flächeninhalt des Kreises ja immer nur näherungsweise bestimmen kann. Beliebig genau zwar, aber halt nicht ganz genau. Fakt ist aber doch, dass ich eine Kreis zeichnen kann, der also auch ganz klar einen äußeren Rand hat, der den Flächeninhalt begrenzt. Jetzt kann man zwar argumentieren, dass man sich "von innen" dieser Begrenzung beliebig annähern kann. Doch was ist mit einem Rechteck? Hier kann ich mich theoretisch auch von innen beliebig nahe annähern. Doch hier kann ich den Flächeninhalt genau bestimmen.
Das Problem ist also kein mathematisches, sondern ein logisches.....für mich zumindest......über eine Diskussion würde ich mich sehr freuen!
Viele Grüße,
Frank
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Hallo Frank
> Wurzel2 ist bekannter Weise eine irrationale Zahl, lässt
> sich also nicht durch einen vollständig gekürzten Bruch
> darstellen. Soweit so gut. Wenn man aber ein rechtwinkliges
> Dreieck mit der Seitenlänge 1 konstruiert, so hat die
> Hypothenuse ja die Länge Wurzel2. Da ich dieses Dreieck
> zeichnen kann, kann ich auch die Strecke vom Ende des eines
> Schenkels zum Ende des zweiten Schenkels messen. Wie aber
> kann man eine irrationale Zahl messen?!
Was meinst du damit, dass du die Hypotenuse "messen"
kannst ? Stellen wir uns den Messvorgang konkret vor,
an folgendem Beispiel: Idealerweise nehmen wir an, dass uns
praktische Probleme nicht hindern sollen, z.B. ein Quadrat mit
Seitenlänge [mm]a= 1\ km[/mm] absolut exakt zu konstruieren und eine
Diagonale einzuzeichnen. Zum Messen der Länge [mm]d[/mm]
der Diagonalen stehen metrische Maßstäbe beliebiger
Feinheit zur Verfügung. Die Messung mit dem Kilometerstab
zeigt: [mm]1\ km
Mit dem Hektometerstab: [mm]14\ hm
Und so weiter:
[mm]141\ Dm
[mm]1414\ m
...
[mm]1414213\ mm
...
[mm]1414213562\ \mu{m}
...
[mm]1414213562373\ nm
...
Diese Überlegung (und unser theoretisches Wissen) zeigt,
dass die Messung mit einem noch so feinen Maßstab stets
nur endlich viele Dezimalen liefert und stets noch ein Rest
bleibt. Wir wissen auch, dass nicht etwa das Dezimalsystem
daran schuld ist, dass die Messung nie "aufgeht". In jedem
anderen Zahlensystem (binär, ternär, ...., sexagesimal, ...)
würde sich das genau gleiche Phänomen zeigen: es geht
nie auf ! Nehmen wir an, wir könnten, wo wir ja eine
Diagonale exakt "konstruieren" können, auch einen Maßstab
mit der exakten Länge [mm]h = \wurzel{2}\ m[/mm] machen mit
seinen dezimalen Unterteilungen. Mit diesem Maßstab
gemessen ist natürlich die obige Diagonale [mm]d=1000\ h[/mm], exakt.
Nur wird dann die Messung der Quadratseitenlänge [mm]a[/mm]
zu einem unendlichen Approximationsprozess:
[mm]707\ h
...
[mm]707106\ mh
...
Gruß al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:36 Fr 31.10.2008 | | Autor: | Frank74 |
Danke für die Antwort! Ja, das leuchtet natürlich ein. Aber Fakt ist doch: Wenn ich die Diagonale in dem oben erwähnten Quadrat von 1km eintrage, wenn wir mal von allen praktischen Problemen absehen, steht eines fest: egal wie lang diese Diagonale auch immer ist, sie hat einen Anfangs- und einen Endpunkt. Dass sie einen Endpunkt hat (nämlich genau an einem Eckpunkt des Quadrates) widerspricht aber doch der Tatsache, dass die Länge "unendlich" ist, hier meine ich mit unendlich natürlich "unendlich viele Nachkommastellen".
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:39 Fr 31.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> Danke für die Antwort! Ja, das leuchtet natürlich ein. Aber
> Fakt ist doch: Wenn ich die Diagonale in dem oben erwähnten
> Quadrat von 1km eintrage, wenn wir mal von allen
> praktischen Problemen absehen, steht eines fest: egal wie
> lang diese Diagonale auch immer ist, sie hat einen Anfangs-
> und einen Endpunkt. Dass sie einen Endpunkt hat (nämlich
> genau an einem Eckpunkt des Quadrates) widerspricht aber
> doch der Tatsache, dass die Länge "unendlich" ist, hier
> meine ich mit unendlich natürlich "unendlich viele
> Nachkommastellen".
Wieso ?? Was ist mit 1/3 = 0,333333333333333333333333333333333..........
Von einer Strecke mit 1 km Länge kann ich tadellos 1/3 entfernen, oder messen, oder ........................
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:47 Fr 31.10.2008 | | Autor: | Frank74 |
Nein, eigentlich nicht......nur in der Theorie, denn es stellt sich das oben erwähnte Problem der Maßeinheiten...man kann es unendlich genau bestimmen, aber halt nicht ganz genau
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:42 Fr 31.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke für die Antwort! Ja, das leuchtet natürlich ein. Aber
> Fakt ist doch: Wenn ich die Diagonale in dem oben erwähnten
> Quadrat von 1km eintrage, wenn wir mal von allen
> praktischen Problemen absehen, steht eines fest: egal wie
> lang diese Diagonale auch immer ist, sie hat einen Anfangs-
> und einen Endpunkt. Dass sie einen Endpunkt hat (nämlich
> genau an einem Eckpunkt des Quadrates) widerspricht aber
> doch der Tatsache, dass die Länge "unendlich" ist, hier
> meine ich mit unendlich natürlich "unendlich viele
> Nachkommastellen".
das ganze hat einen sehr mathematischen Hintergrund. Es läuft im Prinzip auf Konvergenzfragen hinaus. Ein analoges Beispiel:
![[]](/images/popup.gif) Das Paradoxon des Zenon
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:51 Fr 31.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dein Problem hatten schon die Griechen. Sie nannten deshalb soche Strecken nicht kmmensurabel, d,h, nicht gegenseitig messbar. d.h. wenn ich die eine Strecke in noch so kleine Teile teile, kann ich die andere damit nicht ausmessen.
Du kannst natuerlich ein Quadrat herstellen, das die diagonale genau 1 hat, dann kannst du aber die seiten nicht als Bruch der diagonalen angeben.
die idee mit dem Punkt ist eben nicht eine messbare Idee, sondern ein Punkt ist etwas abstraktes. in der Praxis nicht realisierbares.
das Wort "irrational sagt ja schon, dass unser Verstand es schwer hat, solche Zahlen zu erfassen. Unser "normales" Denken in Zahlen geht vom abzaehlen aus, also den natuerlichen Zahlen, dann koennen wir uns leicht noch Teile davon vorstellen. Aber dann hoert die Vorstellung auf.
Wenn du ein Rechteck hast, indem die 2 Seiten ein rationales Verhaeltnis haben kannst du es immer in lauter gleich grosse, wenn auch vielleicht winzige Quadrate zerlegen, die Seitenlaeng eines der Quadrate ist dann das "gemeinsame Mass.
also bei a=5,b=3 waere das die 1, bei a=1 b=7/9 waere das 1/9 bei a=1,77 b=3,12 waere das 0,01 usw.
Man kann dieses gemeinsame Mass finden, indem man immer Quadrate abzieht.
Sieh dir meine Zeichnung an.
das linke Rechteck ABCD hat die Seitenverhaetnisse 5:3
Das rechte KLMN hat die Verhaeltnisse des goldene Schnitts
es verhaelt sich KL:LM wie (LM-KL):LM
Wenn man hier ein Quadrat abzieht, entsteht ein Rechteck OMNP, das wieder die gleichen Seitenverhaeltnisse hat, wenn man davon ein Quadrt abzieht bleibt wieder ein Rechteck FQRN der gleichen Form uebrig usw. Man kommt nie an ein Ende! Also gibt es kein noch so kleines Quadrat, mit dem man das pflastern kann.
[Dateianhang nicht öffentlich]
(In der Zeichnung natuerlich schon, weil irgendwann die Linien dicker sind als die kleinsten quadrate.
Die seiten sind also inkommensurabel, die Seitenverhaeltnisse kann man auch einfach ausrechnen, sie verhalten sich wie [mm] (\wurzel{5}+1):2
[/mm]
Diese Entdeckung stammt schon von den Griechen, die Sage geht, dass ihr Entdecker, der das auch noch der Oeffentlichkeit mitteilte, dafuer von seinen Mitmathematikern - den Pythagoräern - umgebracht wurde!
Gruss leduart
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:41 Fr 31.10.2008 | | Autor: | Frank74 |
Vielen Dank! Toll, wie hier geholfen wird!
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> das Wort "irrational sagt ja schon, dass unser Verstand es
> schwer hat, solche Zahlen zu erfassen. Unser "normales"
> Denken in Zahlen geht vom abzaehlen aus, also den
> natuerlichen Zahlen, dann koennen wir uns leicht noch Teile
> davon vorstellen. Aber dann hoert die Vorstellung auf.
hallo leduart,
deine Aussage "das Wort irrational sagt ja schon, dass unser
Verstand es schwer hat, solche Zahlen zu erfassen" ist nicht
passend.
Der Begriff "rationale Zahl" hat nämlich nichts mit dem
lateinischen Begriff "ratio" im Sinne von "Verstand" zu tun,
sondern nur mit "ratio" im Sinne von "Anteil", "Bruchteil"
oder "Verhältnis". Vielleicht greift man da fast besser auf
die englische statt auf die lateinische Sprache zurück.
Und so ist eine "irrationale Zahl" eben nicht eine "dem
Verstand unzugängliche Zahl", sondern eben schlicht und
einfach eine Zahl, die sich nicht als Bruch ganzer Zahlen
darstellen lässt.
Gruß Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:18 Sa 01.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo Al
Du hast natuerlich recht! Aber meine Deutung ist trotzdem passend!
Gruss leduart
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