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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:54 Do 20.01.2005 | | Autor: | Reaper |
geg.:
A ist unendlich [mm] \gdw [/mm] A besitzt eine abzählbare Teilmenge.
Eine Menge A nennt man ja abzählbar wenn sie gleichmächtig zu [mm] \IN [/mm] ist. Also ist a unendlich wenn sie eine unendliche Teilmenge, die gleichmächtig zu [mm] \IN [/mm] ist besitzt oder?
So und jetzt ist mir der Beweis nicht ganz klar:
[mm] "\Rightarrow": [/mm] Also hier weiß ich dass A unendlich ist
Skript: Nehme aus A ein Element [mm] {a_{1}}, [/mm] aus [mm] A\{a_{1}} [/mm] ein [mm] a_{2} [/mm] etc. , und forme (Auswahlaxiom!) die abzählbare Menge [mm] {a_{1}, a_{2},....}.
[/mm]
Irgendwie check ich jetzt nicht wie ich jetzt gezeigt haben soll dass A ein abzählbare Teilmenge besitzt.
" [mm] \Leftarrow": [/mm] Skript : Seien B [mm] \subseteq [/mm] A abzählbar, f: B [mm] \to \IN [/mm] bijektiv und g: [mm] \IN \to \IN\{1}, [/mm] x [mm] \tox+1.
[/mm]
Dann ist B zu B' := [mm] f^{-1}( \IN\{1}) [/mm] gleichmächtig und B' [mm] \subset [/mm] B, und A ist zu (A-B) [mm] \cup [/mm] B' gleichmächtig.
Also hier ist mir so ziemlcih gar nichts klar, außer dass B [mm] \subseteq [/mm] A abzählbar ist weil ich dass ja vorgegeben habe. Aber sonst.....
Wäre nett wenn ihr es mir erklären könntet.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:14 Fr 21.01.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo Reaper,
es wäre nett, wenn du dir deine Fragen nach dem Posten noch einmal durchlesen würdest. Dann würdest du nämlich erkennen, dass sie unlesbar sind.
> geg.:
> A ist unendlich [mm]\gdw[/mm] A besitzt eine abzählbare
> Teilmenge.
> Eine Menge A nennt man ja abzählbar wenn sie gleichmächtig
> zu [mm]\IN[/mm] ist. Also ist a unendlich wenn sie eine unendliche
> Teilmenge, die gleichmächtig zu [mm]\IN[/mm] ist besitzt oder?
> So und jetzt ist mir der Beweis nicht ganz klar:
>
> [mm]"\Rightarrow":[/mm] Also hier weiß ich dass A unendlich ist
> Skript: Nehme aus A ein Element
> [mm]{a_{1}},[/mm] aus [mm]A\{a_{1}}[/mm] ein [mm]a_{2}[/mm] etc. , und forme
> (Auswahlaxiom!) die abzählbare Menge [mm]{a_{1}, a_{2},....}.
[/mm]
>
> Irgendwie check ich jetzt nicht wie ich jetzt gezeigt haben
> soll dass A ein abzählbare Teilmenge besitzt.
Die Bijektion [mm] $\IN\mapsto B=\{a_1,a_2,a_3,\ldots\}$ [/mm] ist doch recht offensichtlich:
[mm] $n\to a_n$
[/mm]
> " [mm]\Leftarrow":[/mm] Skript : Seien B [mm]\subseteq[/mm] A abzählbar, f: B
> [mm]\to \IN[/mm] bijektiv und g: [mm]\IN \to \IN\{1},[/mm] x [mm]\tox+1.
[/mm]
> Dann ist B zu B' := [mm]f^{-1}( \IN\{1})[/mm] gleichmächtig und B'
> [mm]\subset[/mm] B, und A ist zu (A-B) [mm]\cup[/mm] B' gleichmächtig.
> Also hier ist mir so ziemlcih gar nichts klar, außer dass
> B [mm]\subseteq[/mm] A abzählbar ist weil ich dass ja vorgegeben
> habe. Aber sonst.....
Wie habt Ihr denn eigentlich unendlich definiert?
Und wo kommt das definierte g in diesem Beweis vor? Fehlt vielleicht etwas?
Die Idee des Beweises ist aber doch einigermaßen erahnbar: Man nimmt ein Element aus der Menge A heraus und zeigt, dass A ohne das herausgenommene Element gleichmächtig zu A ist. Bei endlichen Mengen würde dieses Vorgehen scheitern, da es keine Bijektion zwischen zwei endlichen Mengen mit unterschiedlicher Anzahl Elemente gibt.
Viele Grüße,
Marc
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