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Hallo,
leider hab ich vergessen wie ich das Unendlichkeitsverhalten einer Gebrochenrationalen Funktion prüfe.
f(x)= 5x-7 / [mm] x^2-3x+2
[/mm]
dann habe ich die die x mit den höhsten exponenten ausgeklammert :
=> x* ( 1+ 5/x - 7/x) [mm] /x^2* [/mm] (1- [mm] 3x/x^2 [/mm] + [mm] 2/x^2 [/mm] )
stimmt das so?
und jetzt muss ich die Werte
lim f(x)
x -> unendlich
und für - unendlich bilden.
dazu habe ich die Frage.Wenn ich jetzt die Werte einsetze,muss ich die gesamte funktion betrachten oder nur in den Zähler oder Nenner einsetzen und ausrechen?
Danke im vorraus
Gruß Desperado
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:02 Do 18.05.2006 | | Autor: | Fulla |
hi desperado!
[mm] f(x)=\bruch{5x-7}{x²-3x+2}=\bruch{x(5-\bruch{7}{x})}{x²(1-\bruch{3}{x}+\bruch{2}{x²})}
[/mm]
das ist richtig (du hast aber einen fehler beim ausklammern im zähler gemacht...)
um jetzt [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x) [/mm] zu berechnen, schaust du dir die einzelnen terme an (alles mit x im nenner geht gegen null)
--> [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x)=\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{5x}{x²}=\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{5}{x}=0
[/mm]
du musst also schon den ganzen bruch betrachten...
lieben gruß,
Fulla
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:04 Fr 19.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen Desperado!
Etwas einfacher wird es noch, wenn Du sowohl in Zähler als auch in Nenner die höchste auftretende $x_$-Potenz ausklammerst; hier also [mm] $x^2$ [/mm] :
$f(x) \ = \ [mm] \bruch{5x-7}{x^2-3x+2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x^2*\left(\bruch{5}{x}-\bruch{7}{x^2}\right)}{x^2*\left(1-\bruch{3}{x}+\bruch{2}{x^2}\right)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\bruch{5}{x}-\bruch{7}{x^2}}{1-\bruch{3}{x}+\bruch{2}{x^2}} [/mm] $
Und nun ergibt sich der Grenzwert auch sehr schnell:
[mm] $\limes_{x\rightarrow\pm\infty}\bruch{\bruch{5}{x}-\bruch{7}{x^2}}{1-\bruch{3}{x}+\bruch{2}{x^2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\pm 0-0}{1\mp 0+0} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{0}{1} [/mm] \ = \ 0$
Gruß
Loddar
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