Ungeordnete Stichproben mit zu < Kombinatorik < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Herleitung der Formel von ungeordneten Stichproben mit zurücklegen. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hey, ich habe ein problem bei der Herleitung der Formel für die Anzahl der Möglichkeiten für eine ungeordnete Stichprobe von n aus N Elementen mit zurücklegen: [mm] \bruch{(N+n-1)!}{n!*(N-1)!}
[/mm]
Die für die geordneten Stichproben bzw. die für ungeordnet aber ohne zurücklegen hab ich verstanden, aber da komm ich gar nicht weiter. Hoffe mir kann einer helfen :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:12 Mo 15.10.2012 | | Autor: | pits |
> Hey, ich habe ein problem bei der Herleitung der Formel
> für die Anzahl der Möglichkeiten für eine ungeordnete
> Stichprobe von n aus N Elementen mit zurücklegen:
> [mm]\bruch{(N+n-1)!}{n!*(N-1)!}[/mm]
Die Formel finde ich auch nicht so einfach und sie wird auch nicht so oft gebraucht. Ich habe jetzt nochmal ein bisschen nachgelesen und finde folgende Erklärung ganz einsichtig.
Als Beispiel stellt man sich eine Urne mit N numerierten Kugeln vor (Zahlen von 1 bis N).
Wenn man alle Möglichkeiten, die herauskommen könnten aufschreiben will, kann man diese so sortieren, dass immer das kleinste Element ganz links steht und man nach rechts hin immer größer wird. Also wenn man es einfach macht, z.B. mit N=3 und n=2:
11,12,13,22,23,33
Dies kann man sich auch aufschreiben, in dem man zusätzlich die Wechsel zur nächst höheren Zahl notiert (hier mit |):
11|| , 1|2|, 1||3,|22|, |2|3, ||33
Dabei stellt man sich vor, dass man immer mit 1 beginnt und auf jeden Fall mit 3 Enden muss, also bei 11|| wird mit 1 begonnen und nachdem die beiden Einsen notiert wurden noch zur 2 und zur 3 gewechselt aber keine Zahl mehr notiert. Bei ||33, wird zunächst zur 2, dann zur 3 gewechselt und erst dann die beiden Zahlen 33 geschrieben.
Man kann erkennen, dass es eigentlich genügt, die Zahlwechsel und die Stellen für die Zahlen zu notieren, z.B. in dem man N+n-1 leere Felder vorsieht und die Stellen markiert, an denen zur nächst höheren Zahl gewechselt wird (Zwei oder mehrere aufeinanderfolgende Trennzeichen, bedeuten dass die Zahl um mehr als 1 ansteigt). Das Trennzeichen bedeutet also immer, dass man zur nächst höheren Zahl wechselt. Dann gibt es eine bijektive (eineindeutige) Zuordnung zwischen dieser Trennschreibweise und den Kombinationen (Zahl-Felder markiere ich mit _ und gesetzte Trenner mit | )
11 - _ _ | | (erst nachdem zwei Zahlen (1 und 1) gesetzt wurden wird zur nächsten Zahl 2 und zur dritten Zahl 3 gewechselt)
12 - _ | _ |
13 - _ | | _
22 - | _ _ |
23 - | _ | _
33 - | | _ _
Um zu Berechnen, wie viele Möglichkeiten es für das Setzen der Trenner gibt muss man die Anzahl der Möglichkeiten n Objekte auf N+n-1 Felder zu verteilen berechnen (ohne Beachtung der Reihenfolge). Also $ [mm] \vektor [/mm] {N+n-1 [mm] \\ [/mm] n} $ und das entspricht deiner Formel.
Gruß
pits
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:18 Di 16.10.2012 | | Autor: | Peter3893 |
okay danke, habs zwar paar mal durchlesen müssen aber ich glaub jtz hab ichs halbwegs durchschaut :)
liebe Grüße,
Peter3893
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