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| Aufgabe | Zeigt, dass
[mm] |\zeta(z)\prod_{k=1}^{N}(1-\bruch{1}{p_k^z})-1|\leq \sum_{n=p_{N+1}}^\infty \bruch{1}{n^{Re z}} [/mm] Re(z) > 1,
wo [mm] \zeta(z) [/mm] die Riemann zeta Funktion ist: [mm] \sum_{n=1}^\infty \bruch{1}{n^z}, [/mm] Re(z) > 1 und [mm] p_k [/mm] die Sequenz der Primzahlen ist: 2,3,5, ... |
Hallo alle
Hat jemand bitte eine Idee, diese Ungleichheit zu beweisen?
Es steht schon so was wie ein Beweis hier:
http://www.google.com/books?id=Pptx-nLUFnoC&printsec=frontcover&hl=da#PPA2,M1 (seite 2)
aber das sieht ziemlich kompliziert aus, man zeigt offenbar zuerst eine andere Identität und dann folgt die Ungleichheit als Resultat davon. Man benutzt im Buch offenbar Induktion über die Primzahlen, die identität
[mm] \prod_{p\in S}(1-{p^{-s}})\zeta(s)=\sum_{m:(m,q(S))=1} m^{-s}
[/mm]
zu zeigen. Aber wie kommt man dann genau von hier bis zur Ungleichung? Das haben sie nicht ordentlich erklärt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:20 Mi 25.02.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Zeigt, dass
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> [mm]|\zeta(z)\prod_{k=1}^{N}(1-\bruch{1}{p_k^z})-1|\leq \sum_{n=p_{N+1}}^\infty \bruch{1}{n^{Re z}}[/mm]
> Re(z) > 1,
> wo [mm]\zeta(z)[/mm] die Riemann zeta Funktion ist:
> [mm]\sum_{n=1}^\infty \bruch{1}{n^z},[/mm] Re(z) > 1 und [mm]p_k[/mm] die
> Sequenz der Primzahlen ist: 2,3,5, ...
>
> Hallo alle
>
> Hat jemand bitte eine Idee, diese Ungleichheit zu
> beweisen?
> Es steht schon so was wie ein Beweis hier:
>
> http://www.google.com/books?id=Pptx-nLUFnoC&printsec=frontcover&hl=da#PPA2,M1
> (seite 2)
> aber das sieht ziemlich kompliziert aus,
So kompliziert ist das jetzt aber auch wieder nicht. :)
> man zeigt
> offenbar zuerst eine andere Identität und dann folgt die
> Ungleichheit als Resultat davon. Man benutzt im Buch
> offenbar Induktion über die Primzahlen, die identität
> [mm]\prod_{p\in S}(1-{p^{-s}})\zeta(s)=\sum_{m:(m,q(S))=1} m^{-s}[/mm]
>
> zu zeigen. Aber wie kommt man dann genau von hier bis zur
> Ungleichung? Das haben sie nicht ordentlich erklärt.
Nun: du hast $S = [mm] \{ p_1, \dots, p_N \}$; [/mm] damit ist [mm] $\sum_{m:(m,q(S))=1} m^{-s} [/mm] - 1 = [mm] \sum_{\stackrel{m:(m,q(S))=1}{m > p_N}} m^{-s}$ [/mm] nach der Bemerkung aus dem Buch.
Weiterhin ist [mm] $\left| \sum_{\stackrel{m:(m,q(S))=1}{m > p_N}} m^{-s} \right| \le \sum_{\stackrel{m:(m,q(S))=1}{m > p_N}} |m^{-s}| [/mm] = [mm] \sum_{\stackrel{m:(m,q(S))=1}{m > p_N}} m^{-\Re s}$, [/mm] und wenn man jetzt einfach ueber alle $m > [mm] p_N$ [/mm] summiert und nicht nur ueber die $m > [mm] p_N$ [/mm] mit $(m,q(S))=1$, dann bekommt man die gesuchte Abschaetzung.
LG Felix
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Vielen Dank für die Antwort!
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