Ungleichheit zweier Formeln < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:23 Di 14.01.2014 | | Autor: | laupl |
Hallo,
ich möchte gerne zeigen, dass allgemein gilt: [mm]max(Q)>max(F)[/mm].
Die Variablen [mm]p_1, p_2, q_1, q_2, f_1, f_2, g_1, g_2[/mm] haben alle die Form [mm]p_1=exp(-i*2*\pi*\phi_{p_1})[/mm], mit der imaginären Einheit [mm]i[/mm].
[mm]Q[/mm] und [mm]F[/mm] sehen wie folgt aus.
[mm]
Q=((q_1+q_2)(q_1^\*+q_2^\*))^2+2*(q_1+q_2)(q_1^\*+q_2^\*)(p_1+p_2)(p_1^\*+p_2^\*)((p_1+p_2)(p_1^\*+p_2^\*))^2
[/mm]
[mm]
F=(f_1+f_2)(f_1^\*+f_2^\*)(q_1+q_2)(q_1^\*+q_2^\*)+
(g_1+g_2)(f_1^\*+f_2^\*)(q_1+q_2)(p_1^\*+p_2^\*)+
(f_1+f_2)(g_1^\*+g_2^\*)(p_1+p_2)(q_1^\*+q_2^\*)+
(g_1+g_2)(g_1^\*+g_2^\*)(p_1+p_2)(p_1^\*+p_2^\*)
[/mm]
[mm]^\*[/mm] bedeutet komplex-konjugiert.
[mm]Q[/mm] lässt sich noch wie folgt vereinfachen:
[mm]
Q=4(cos(\Delta \phi_q)+cos(\Delta \phi_p)+2)^2
[/mm]
Hier sieht man dann, dass [mm]Q[/mm] maximal 64 wird.
Numerisch kann man leicht berechnen, dass [mm]max(Q)>max(F)[/mm] gilt. Das möchte ich nun aber gerne mathematisch beweisen. Leider habe ich momentan keine Idee, wie ich das machen könnte.
Sorry, wenn ich etwas mathematisch nicht korrekt formuliert habe. Wenn etwas unklar ist, einfach nachfragen.
Danke für Tipps, Grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:59 Di 14.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> ich möchte gerne zeigen, dass allgemein gilt:
> [mm]max(Q)>max(F)[/mm].
>
> Die Variablen [mm]p_1, p_2, q_1, q_2, f_1, f_2, g_1, g_2[/mm] haben
> alle die Form [mm]p_1=exp(-i*2*\pi*\phi_{p_1})[/mm], mit der
> imaginären Einheit [mm]i[/mm].
Was soll das denn ? links steht [mm] p_1, [/mm] rechts auch, in [mm] \phi_{p_1}. [/mm]
Was ist nun [mm] p_1, [/mm] .....
>
> [mm]Q[/mm] und [mm]F[/mm] sehen wie folgt aus.
>
> [mm]
Q=((q_1+q_2)(q_1^\*+q_2^\*))^2+2*(q_1+q_2)(q_1^\*+q_2^\*)(p_1+p_2)(p_1^\*+p_2^\*)((p_1+p_2)(p_1^\*+p_2^\*))^2
[/mm]
>
> [mm]
F=(f_1+f_2)(f_1^\*+f_2^\*)(q_1+q_2)(q_1^\*+q_2^\*)+
(g_1+g_2)(f_1^\*+f_2^\*)(q_1+q_2)(p_1^\*+p_2^\*)+
(f_1+f_2)(g_1^\*+g_2^\*)(p_1+p_2)(q_1^\*+q_2^\*)+
(g_1+g_2)(g_1^\*+g_2^\*)(p_1+p_2)(p_1^\*+p_2^\*)
[/mm]
>
> [mm]^\*[/mm] bedeutet komplex-konjugiert.
> [mm]Q[/mm] lässt sich noch wie folgt vereinfachen:
> [mm]
Q=4(cos(\Delta \phi_q)+cos(\Delta \phi_p)+2)^2
[/mm]
> Hier sieht
> man dann, dass [mm]Q[/mm] maximal 64 wird.
>
> Numerisch kann man leicht berechnen, dass [mm]max(Q)>max(F)[/mm]
> gilt. Das möchte ich nun aber gerne mathematisch beweisen.
> Leider habe ich momentan keine Idee, wie ich das machen
> könnte.
Ich auch nicht, aber deswegen weil Deine Angaben spärlich, unverständlich und unvollständig sind.
FRED
>
> Sorry, wenn ich etwas mathematisch nicht korrekt formuliert
> habe. Wenn etwas unklar ist, einfach nachfragen.
>
> Danke für Tipps, Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:34 Di 14.01.2014 | | Autor: | laupl |
Also [mm]p_1,p_2,q_1,q_2,f_1,f_2,g_1,g_2[/mm] sind eigentlich Übertragungsfunktionen, die ausschließlich Phaseninformationen enthalten. Und [mm]\phi_{p_1}[/mm] ist die zu [mm]p_1[/mm] gehörende Phaseninformation.
[mm]\Delta \phi_p[/mm] ist der Phasenunterschied zwischen [mm]\phi_{p_1}[/mm] und [mm]\phi_{p_2}[/mm].
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:56 Di 14.01.2014 | | Autor: | chrisno |
Ich komme nicht auf die Vereinfachung für Q, die Du angibst.
Rechne mal mit folgenden Hinweisen:
Der Betrag der Terme der Art [mm] $p_1 [/mm] + [mm] p_2$ [/mm] kann maximal 2 werden.
Mit Ausdrücken der Art [mm] $(p_1 [/mm] + [mm] p_2)(p_1^\ast [/mm] + [mm] p_2^\ast)$ [/mm] wird der Betrag von [mm] $p_1 [/mm] + [mm] p_2$ [/mm] berechnet.
Damit hast Du schon für alle Terme von Q und die Hälfte der Terme von F eine Abschätzung nach oben.
Übrig bleiben noch:
[mm] $(g_1+g_2)(f_1^\ast+f_2^\ast)(q_1+q_2)(p_1^\ast+p_2^\ast)+ (f_1+f_2)(g_1^\ast+g_2^\ast)(p_1+p_2)(q_1^\ast+q_2^\ast)$
[/mm]
Bei der Multiplikation komplexer Zahlen ergibt des Produkt der Beträge den Betrag des Ergebnisses.
Damit kannst Du den Betrag eines der Terme abschätzen. Da der andere dazu komplex konjugiert ist, ist das Gesamtergebnis doppelt so groß.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:43 Mi 15.01.2014 | | Autor: | laupl |
Hi,
erstmal danke für die Antwort.
Ich habe das so gerechnet (die [mm]2\pi[/mm] lasse ich mal weg):
[mm]
\begin{matrix}
(p_1+p_2)(p_1^\*+p_2^\*)&=&(exp(-i\phi_{p_1})+exp(-i\phi_{p_2}))(exp(i\phi_{p_1})+exp(i\phi_{p_2}))\\
\ &=&1+exp(-i(\phi_{p_1}-\phi_{p_2}))+exp(-i(\phi_{p_2}-\phi_{p_1}))+1\\
\ &=&2+exp(-i(\phi_{p_2}-\phi_{p_1}))+exp(i(\phi_{p_2}-\phi_{p_1}))\\
\ &=&2+cos(\phi_{p_1}-\phi_{p_2})-i*sin(\phi_{p_1}-\phi_{p_2})+cos(\phi_{p_1}-\phi_{p_2})+i*sin(\phi_{p_1}-\phi_{p_2})\\
\ &=&2*cos(\Delta \phi_{p})+2
\end{matrix}
[/mm]
Wenn man das so mit allen Termen macht und weiter vereinfacht kommt man auf das angegebene Ergebnis. Oder mache ich da einen Fehler?
Deine Aussage, dass [mm](p_1+p_2)(p_1^\*+p_2^\*)[/mm] gleich [mm]|(p_1+p_2)|[/mm] ist, stimmt meiner Meinung nach nicht. Denn allgemein gilt für eine komplexe Zahl [mm]z[/mm]:
[mm]
|z|=\wurzel{z*z^\*}
[/mm]
Mit [mm](p_1+p_2)(p_1^\*+p_2^\*)[/mm] wird also das Betragsquadrat berechnet.
Jemand weitere Ideen oder Anmerkungen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:43 Mi 15.01.2014 | | Autor: | chrisno |
> Hi,
> erstmal danke für die Antwort.
>
> Ich habe das so gerechnet (die [mm]2\pi[/mm] lasse ich mal weg):
> [mm]
\begin{matrix}
(p_1+p_2)(p_1^\*+p_2^\*)&=&(exp(-i\phi_{p_1})+exp(-i\phi_{p_2}))(exp(i\phi_{p_1})+exp(i\phi_{p_2}))\\
\ &=&1+exp(-i(\phi_{p_1}-\phi_{p_2}))+exp(-i(\phi_{p_2}-\phi_{p_1}))+1\\
\ &=&2+exp(-i(\phi_{p_2}-\phi_{p_1}))+exp(i(\phi_{p_2}-\phi_{p_1}))\\
\ &=&2+cos(\phi_{p_1}-\phi_{p_2})-i*sin(\phi_{p_1}-\phi_{p_2})+cos(\phi_{p_1}-\phi_{p_2})+i*sin(\phi_{p_1}-\phi_{p_2})\\
\ &=&2*cos(\Delta \phi_{p})+2
\end{matrix}
[/mm]
Das kann ich nachvollziehen.
>
> Wenn man das so mit allen Termen macht und weiter
> vereinfacht kommt man auf das angegebene Ergebnis. Oder
> mache ich da einen Fehler?
Doch wenn ich dann mir dann Q ansehe, dann muss durch die Multiplikation ein Term mit [mm] $cos^3(\Delta \phi_{p}) cos(\Delta \phi_{q})$ [/mm] entstehen. Den sehe ich nicht in $ [mm] Q=4(cos(\Delta \phi_q)+cos(\Delta \phi_p)+2)^2 [/mm] $
>
> Deine Aussage, dass [mm](p_1+p_2)(p_1^\*+p_2^\*)[/mm] gleich
> [mm]|(p_1+p_2)|[/mm] ist, stimmt meiner Meinung nach nicht. Denn
> allgemein gilt für eine komplexe Zahl [mm]z[/mm]:
> [mm]
|z|=\wurzel{z*z^\*}
[/mm]
> Mit [mm](p_1+p_2)(p_1^\*+p_2^\*)[/mm] wird also das Betragsquadrat
> berechnet.
Da hast Du völlig Recht. Die Abschätzung mit den Quadraten:
Für Q erhalte ich so: [mm] $4^2 [/mm] + [mm] 2*4*4*4^2 [/mm] = 528$
Für F erhalte ich so: $4*4 + 2*(2*2*2*2) + 4*4 = 64$
>
> Jemand weitere Ideen oder Anmerkungen?
Es kommt immer wieder vor, das ich etwas falsch mache.
Nachtrag: Einfach alle [mm] $\phi [/mm] = 0$ setzen. Das ist die Kurzfassung.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:13 Mi 15.01.2014 | | Autor: | laupl |
Hi,
in meinem ersten Artikel ist ein Fehler, sorry. Es sollte heißen:
[mm]
Q=((q_1+q_2)(q_1^\*+q_2^\*))^2+2*(q_1+q_2)(q_1^\*+q_2^\*)(p_1+p_2)(p_1^\*+p_2^\*)+((p_1+p_2)(p_1^\*+p_2^\*))^2
[/mm]
Da hat ein + gefehlt.
Führt man damit den beschriebenen Rechenweg für alle Terme von [mm]Q[/mm] aus, erhält man den realen Term:
[mm]
\begin{matrix}
Q&=&(2*cos(\Delta \phi_q)+2)(2*cos(\Delta \phi_q)+2)+2*(2*cos(\Delta \phi_q)+2)(2*cos(\Delta \phi_p)+2)+(2*cos(\Delta \phi_p)+2)(2*cos(\Delta \phi_p)+2) \\
\ &=& 4*cos^2(\Delta \phi_q)+4*cos^2(\Delta \phi_p)+8*cos(\Delta \phi_q)*cos(\Delta \phi_p)+16*cos(\Delta \phi_q)+16*cos(\Delta \phi_p)+16 \\
\ &=&4*(cos(\Delta \phi_q)+cos(\Delta \phi_p)+2)^2
\end{matrix}
[/mm]
Und da der Kosinus maximal 1 wird, kommt hier maximal 64 raus.
Dank deiner Hilfe sehe ich nun auch, dass für [mm]F[/mm] ebenfalls maximal 64 rauskommt.
Ich denke, damit ist meine ursprüngliche Frage erst mal geklärt. Meine erste Annahme war wohl falsch.
Dann muss ich wohl noch mal grundsätzlich über das Gesamtproblem nachdenken...
Vielen Dank für die Hilfe!
Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:26 Di 14.01.2014 | | Autor: | chrisno |
Hallo Fred,
$ [mm] \phi_{p_1} \in \IR [/mm] $ usw. sind die Variablen. Aus denen werden [mm] $p_1$ [/mm] usw. per $ [mm] p_1=exp(-i\cdot{}2\cdot{}\pi\cdot{}\phi_{p_1}) [/mm] $ berechnet.
|
|
|
|
