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| Aufgabe | Zeigen Sie: Für alle x,y [mm] \in \IR [/mm] gilt:
(a) |x| [mm] \le [/mm] |y| --> [mm] \bruch{|x|}{1 + |x|} \le \bruch{|y|}{1 + |y|}
[/mm]
(b) [mm] \bruch{|x+y|}{1 + |x+y|} \le \bruch{|x|}{ 1 + |x|} [/mm] + [mm] \bruch{|y|}{1+|y|}
[/mm]
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Hallo,
ich finde irgendwie keinen Ansatz, wie ich das richtig beweisen kann bei a.
Bei b hab ich erstmal das was auf der rechten Seite steht so zusammengefasst:
[mm] \bruch{|x+y|}{1+|x+y|} \le \bruch{|x|+|y|}{2+|x|+|y|}.
[/mm]
Theoretischer WEise stimmt das ja, denn der Ausdruck auf der linken Seite ist kleiner als der auf der Rechten. Aber das reicht doch nicht als Beweis bei b?
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Aufgabe a) ist eine gute Vorbereitung für b). Dazu gleich.
Deine Zusammenfassung der rechten Seite in Aufgabe b) stimmt nicht. Bruch + Bruch geht nicht, indem man Zähler + Zähler und Nenner + Nenner nimmt. Beispiel: Du bekommst erst ein Drittel Deines monatlichen Geldes bezahlt (ca. 33,3%), später eine Hälfte (50%), und noch später ein weiteres Sechstel (ca. 16,7%). Zusammengenommen ist das das ganze Geld (rechne mal die Prozente nach!).
Nach Deiner Rechnung wäre das:
[mm] \bruch{1}{3}+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{6}=\bruch{1+1+1}{3+2+6}=\bruch{3}{11} [/mm]
Das wären, in Prozent, runde 27,3%. Das ist falsch!
Bevor Du die Zähler addieren darfst, muss erst der Nenner gleich sein. Dafür musst Du beide Brüche erweitern. Hierzu jetzt die rechte Gleichung aus Aufgabe a):
[mm] \bruch{|x|}{1 + |x|} \le \bruch{|y|}{1 + |y|} [/mm] |beide Seiten werden erweitert
[mm] \bruch{|x|}{1+|x|}*\bruch{1+|y|}{1+|y|} \le \bruch{|y|}{1+|y|}*\bruch{1+|x|}{1+|x|} [/mm] bzw.
[mm] \bruch{|x|*(1+|y|)}{(1+|x|)*(1+|y|)} \le \bruch{|y|*(1+|x|)}{(1+|x|)*(1+|y|)} [/mm] |Mit d.Nenner (immer >0) multiplizieren
|x|*(1+|y|) [mm] \le [/mm] |y|*(1+|x|)
|x|+|x||y| [mm] \le [/mm] |y|+|x||y| | -|x||y|
|x| [mm] \le [/mm] |y|
w.z.b.w.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:15 Mo 10.11.2008 | | Autor: | reverend |
Wenn Du das verstanden hast, dann mach Dich nochmal nach allen Regeln der Bruchrechnung an Aufgabe b.
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Okay danke, diese Umformung hab ich verstanden,aber:
Wie kommst du denn darauf das aus
|x|*(1+|y|) [mm] \le [/mm] |y|*(1+|x|) , dieser hier wird:
|x|+|x||y| [mm] \le [/mm] |y|+|x||y| .
Das verstehe ich nicht:
Wird nicht aus |x| * (1+ |y|) [mm] \le [/mm] |y| * (1+|x|) umgeformt, dies hier:
|x| + |y| [mm] \le [/mm] |y| + |x|?
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Nein, wirds nicht. Distributivgesetz: a*(b+c)=a*b+a*c
Auch, wenn a hier |x| heißt, b=1 ist und c=|y| (auf der rechten Seite umgekehrt)...
Beachte die Klammern in der Multiplikationsaufgabe!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:59 Mo 10.11.2008 | | Autor: | Janine1506 |
Ach Mensch ja, jetzt hab ichs auch gemerkt!!!
Wie blöd 
Aber trotzdem ein großes Danke!!!
gruß von Janine
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