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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:50 Fr 03.11.2006 | | Autor: | Idale |
| Aufgabe | | [mm] \bruch{|x+1|}{|x-1|} \le [/mm] 1 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich hab Probleme die Fälle auszumachen für die die Gleichung erfüllt wird. Kann jemand mir mal einen Tip geben oder meine Aufzeichnungen korrigieren? Danke
[mm] \bruch{|x+1|}{|x-1|} \le [/mm] 1 D: [mm] \IR [/mm] Ausser 1
1. Fall: x [mm] \le [/mm] -1 [mm] \vee [/mm] x > 1
[mm] \bruch{|x+1|}{|x-1|} \le [/mm] 1
0 [mm] \le [/mm] 2
Darf ich solch eine Aussage erhalten (da schließlich das x wegfällt) u. wenn ja welchen Schluss darf ich daraus ziehen bezüglich meiner Ungleichung?
Das gleiche gilt für Fall 2.
2. Fall x > -1 [mm] \vee [/mm] x < 1
- x -1 [mm] \ge [/mm] -x +1
0 [mm] \ge [/mm] 2
Ich hoffe ihr werdet aus meinen Aufzeichnungen schlau...
Danke
MFG
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Hi, Idale,
Deine Fallunterscheidung passt nicht!
Du musst 3 Fälle unterscheiden:
1. Fall: x [mm] \le [/mm] -1.
Dort ist x+1 [mm] \le [/mm] 0 und x-1 < 0,
Daher: [mm] \bruch{-x-1}{-x+1} \le [/mm] 1
Daraus: -x-1 [mm] \le [/mm] -x+1 bzw. -1 [mm] \le [/mm] 1 (wahre Aussage!)
Daher: [mm] L_{1} [/mm] = [mm] ]-\infty [/mm] ; -1 ]
2. Fall: -1 < x < 1
Dort ist x+1 > 0, aber x-1 < 0
Daher: [mm] \bruch{x+1}{-x+1} \le [/mm] 1
Daraus: x+1 [mm] \le [/mm] -x+1
oder: 2x [mm] \le [/mm] 0, <=> x [mm] \le [/mm] 0; also insgesamt:
Daher: [mm] L_{2} [/mm] = ] -1 ; 0 ]
3. Fall: x > 1
Dort ist x+1 > 0 und auch x-1 > 0
Daher: [mm] \bruch{x+1}{x-1} \le [/mm] 1
Daraus: x+1 [mm] \le [/mm] x-1 bzw. 1 [mm] \le [/mm] -1 (falsche Aussage!)
Daher: [mm] L_{3} [/mm] = [mm] \emptyset
[/mm]
Am Ende erhältst Du die Gesamtlösungsmenge als Vereinigungsmenge der 3 Einzellösungsmengen und somit: [mm] L_{ges} [/mm] = [mm] ]-\infty; [/mm] 0 ]
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:34 Sa 04.11.2006 | | Autor: | Idale |
| Aufgabe | | [mm] \bruch{|x+1|}{x} \le [/mm] 2 |
Hi, vielen Dank für den ausführlichen Lösungsweg, hat mir wirklich geholfen, leider hat sich bei einer vermeindlichen leichteren Aufgabe wieder ein Problem eingestellt, obwohl ich mich genau an die Regeln gehalten habe (glaube ich zumindest  ) u. zwar bei der folgenden Aufgabe:
[mm] \bruch{|x+1|}{x} \le [/mm] 2
Hier muss ich ja nur 2 Fälle betrachten, oder?
1. Fall x [mm] \le [/mm] -1
Dort ist x + 1 [mm] \le [/mm] 0
Daraus folgt: [mm] \bruch{-x-1}{x} \le [/mm] 2
x [mm] \ge \bruch{-1}{3}
[/mm]
Und das kann doch nicht stimmen, eine einfache Probe zeigt, dass z. Bsp. [mm] \bruch{-1}{10} [/mm] die Gleichung erfüllt.
2.Fall: x > -1
Dort ist x+1 [mm] \ge [/mm] 0
Daraus folgt: [mm] \bruch{x+1}{x} \le [/mm] 2
x [mm] \le [/mm] 1
[mm] \IL= [/mm] (x [mm] \ge \bruch{-1}{3} \vee [/mm] x [mm] \le [/mm] 1)
x [mm] \ge \bruch{-1}{3} [/mm] kann nicht stimmen, das weiß ich aber nur aufgrund meines logischen Denkvermögens, (was auch nicht immer das beste ist), aber nicht aufgrund mathematischer Berechnungen...
Bestimmt ist es nur ein kleiner Fehler, aber wie heißt es so schön "der Teufel steckt im Detail"
MFG
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Hi, Idale,
> [mm]\bruch{|x+1|}{x} \le[/mm] 2
>
> Hier muss ich ja nur 2 Fälle betrachten, oder?
Nein: 3 Fälle, und zwar: x [mm] \le [/mm] -1, -1 < x < 0 und x > 0
>
> 1. Fall x [mm]\le[/mm] -1
>
> Dort ist x + 1 [mm]\le[/mm] 0
>
> Daraus folgt: [mm]\bruch{-x-1}{x} \le[/mm] 2
> x [mm]\ge \bruch{-1}{3}[/mm]
>
> Und das kann doch nicht stimmen, eine einfache Probe
> zeigt, dass z. Bsp. [mm]\bruch{-1}{10}[/mm] die Gleichung erfüllt.
Das ist zwar richtig, hat aber mit dem 1. Fall nichts zu tun, denn -0,1 ist ja nicht links von -1 (was in diesem Fall vorausgesetzt wird!)
Dennoch stimmt Dein Ergebnis nicht!
Vermutlich hast Du die Ungleichung [mm] \bruch{-x-1}{x} \le [/mm] 2
mit x multipliziert und übersehen, dass für x [mm] \le [/mm] -1 x ja NEGATIV ist - und was geschieht bei Multiplikation mit einer negativen Größe? - Richtig!
> 2.Fall: x > -1
> Dort ist x+1 [mm]\ge[/mm] 0
Schon, aber zwischen -1 und 0 ist x (also der Nenner!) negativ, rechts von 0 aber positiv!
Daher: 2 weitere Fälle!
Also: Do it again, Sam!
(PS: Mit etwas Logik, kann man die Ungleichung auch mit der Fallunterscheidung x<0; x>0 lösen. Aber mach's erst mal "auf konventionelle Art"!)
mfG!
Zwerglein
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