Ungleichung < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeige:
Für alle [mm]\ x,y \in \IR \ mit\ 0\le x < y \ und \ a \in \IR,\ a\ge 2 \ gilt: \
ax^{a-1}(y-x) |
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Hallo!
Ich brauche Hilfe bei dieser Aufgabe ... Was mir auffällt, ist,dass die Ableitung von [mm] x^a = ax^{a-1} [/mm]
![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]") Ich habe aber kein Plan, was ich damit anfangen kann.
Hat jemand eine Idee? ![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]") Ein Tipp?
Vielen Dank im Voraus ...
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Hallo Kateto,
setzen wir [mm]f(x) := x^a[/mm], dann sieht die Gleichung wie folgt aus:
[mm]f'(x)(y-x) < f(y) - f(x) < f'(y)(y-x)[/mm]
[mm]\gdw f'(x) < \bruch{f(y) - f(x)}{y-x} < f'(y)[/mm]
Nun beachte, daß die Ableitung wie folgt definiert ist:
[mm]f'(y) = \limes_{x\rightarrow y}\bruch{f(y) - f(x)}{y-x}[/mm] bzw
[mm]f'(x) = \limes_{y\rightarrow x}\bruch{f(y) - f(x)}{y-x}[/mm]
Kommst nun alleine weiter?
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| Aufgabe | $ f'(x) < [mm] \bruch{f(y) - f(x)}{y-x} [/mm] < f'(y) $
$ [mm] \limes_{y\rightarrow x}\bruch{f(y) - f(x)}{y-x} [/mm] < [mm] \bruch{f(y) - f(x)}{y-x} [/mm] < [mm] \limes_{x\rightarrow y}\bruch{f(y) - f(x)}{y-x} [/mm] $
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Ich sehe es aber leider nicht ...
Für $ [mm] \bruch{f(y) - f(x)}{y-x} [/mm] $ gilt nach MWS,dass es ein Punkt c gibt mit
$ f'(c) = [mm] \bruch{f(y) - f(x)}{y-x} [/mm] $, da y>x.
Aber heißt das,dass die Ungleichung gilt ... ?
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Also wenn du den MWS anwenden kannst, ist das sogar noch einfacher 
[mm]ax^{a-1}(y-x) < y^a -x^a < ay^{a-1}(y-x)[/mm]
[mm]\gdw f'(x)(y-x) < f(y) - f(x) < f'(y)(y-x)[/mm]
[mm]\gdw f'(x) < \bruch{f(y)-f(x)}{y-x} < f'(y)[/mm] (da y > x)
[mm]\gdw f'(x) < f'(c) < f'(y)[/mm] (mit [mm]f'(c) = \bruch{f(y)-f(x)}{y-x}, c \in (x,y)[/mm] nach MWS)
Da f' streng monoton wachsend in [mm](0,\infty)[/mm](das solltest du noch zeigen ) und [mm]x < c < y[/mm]
ist das eine wahre Aussage. Da alle Umformungen äquivalent sind, ist somit auch die Anfangsungleichung wahr.
Gruß,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:47 Mi 13.12.2006 | | Autor: | kateto178 |
![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]") Danke,danke,danke! :))
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