Ungleichung < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweise folgende Ungleichung:
Zeige:
(ax + by)² <= ( a² + b²)(x² + y² )
Beweise:
die Ungleichung wird genau dann zu einer Gleicung wenn ax = by
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Mein Lösungsansatz ( leider sehr dürftig )
Ich habe die rechte Seite ausgerechnet und erhalte
(ax + by)² =(a²+b²) (x²+y²) - (ay-bx)²
Aber wie mach ich dann weiter oder bin ich damit komplett falsch dran ?
Danke für eure HIlfe
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Hallo sgriesser,
irgendwie hast du da das Quadrat falsch aufgelöst:
Es ist doch [mm] (ax+by)^2=a^2x^2+2axby+b^2y^2 [/mm] nach der 1. binom. Formel
Nun betrachte mal die rechte ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") Seite und multipliziere aus:
[mm] (a^2+b^2)(x^2+y^2)=a^2x^2+b^2y^2+a^2y^2+b^2x^2=a^2x^2+b^2y^2+a^2y^2+b^2x^2\red{+2axby-2axby} [/mm] eine "nahrhafte Null" addiert
[mm] =(a^2x^2\red{+2axby}+b^2y^2)+(a^2y^2+b^2x^2\red{-2axby}=(ax+by)^2+(ay-bx)^2\ge(ax+by)^2, [/mm] da [mm] (ay-bx)^2\ge [/mm] 0
Der Fall der Gleichheit sollte hier dann auch deutlich werden 
Gruß
schachuzipus
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