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| Aufgabe | Zeige:
[mm] $|x-1|\leq \sqrt{\frac{1}{3}f(x)g(x)}$, $x\geq [/mm] 0$
mit $f(x)=4+2x$, $g(x)=xlog(x)-x+1$ |
Ich habe zunächst quadriert und dann die Ungleichung umgeform zu
[mm] $w(x):=5x^2-4x-1-(4x+2x^2)log(x)\leq [/mm] 0$.
Beobachtung: $w(1)=0$. Bei $x=1$ ist ein lokales Maximum.
Aber ich kann nicht zeigen, dass dieses global ist bzw. das einzige. Dann wäre ja alles fertig.
Hat jemand eine Idee?
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[mm]w(x) = 5x^2 - 4x - 1 - \left( 4x + 2x^2 \right) \ln x[/mm]
[mm]w'(x) = 8x - 8 - (4 + 4x) \ln x[/mm]
[mm]w''(x) = 4 - \frac{4}{x} - 4 \ln x[/mm]
[mm]w'''(x) = 4 \, \frac{1-x}{x^2}[/mm]
[mm]w(1) = w'(1) = w''(1) = w'''(1) = 0[/mm]
[mm]w[/mm] und alle seine Ableitungen sind für [mm]x>0[/mm] definiert.
Offenbar hat [mm]w'''[/mm] außer [mm]x=1[/mm] keine weiteren Nullstellen und bei [mm]x=1[/mm] einen Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus, wie der Zähler des Bruches zeigt.
Damit wächst [mm]w''[/mm] vor [mm]x=1[/mm] streng monoton und fällt nach [mm]x=1[/mm] streng monoton. Wegen [mm]w''(1) = 0[/mm] hat [mm]w''[/mm] außer bei [mm]x=1[/mm] daher nur negative Werte.
Damit ist aber [mm]w'[/mm] streng monoton fallend, was zeigt, daß [mm]x=1[/mm] die einzige Nullstelle von [mm]w'[/mm] ist. Davor hat [mm]w'[/mm] folglich positive, danach negative Werte.
Dies zeigt, daß [mm]w[/mm] bei [mm]x=1[/mm] ein globales Maximum hat.
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