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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:14 Do 09.10.2008 | | Autor: | csak1162 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Defb. und die Lösungmenge (reele Zahlen) der Ungleichung
-x < [mm] \wurzel{36-2x²} [/mm] |
so als Defb. habe ich [mm] \IR [/mm] | x < [mm] \wurzel{18}
[/mm]
und wie gehe ich jetzt mit dem Minus vor dem x um, wenn ich quadriere,
stimmt es dann noch oder muss ich da nicht irgendetwas beachten??
danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:31 Do 09.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> Bestimmen Sie den Defb. und die Lösungmenge (reele Zahlen)
> der Ungleichung
>
> -x < [mm]\wurzel{36-2x²}[/mm]
> so als Defb. habe ich [mm]\IR[/mm] | x < [mm]\wurzel{18}[/mm]
Was ist wenn [mm] $x<-\sqrt{18}$ [/mm] ist?
> und wie gehe ich jetzt mit dem Minus vor dem x um, wenn ich
> quadriere.
Also einfach quadrieren darfst du definitiv nicht. Wenn du eine Ungleichung hast wie $a<b$, folgt daraus i.A. nicht $f(a)<f(b)$. Das hängt von den Monotonieeigenschaften von $f$ auf dem relevanten Definitionsbereich ab.
Mach also eine Fallunterscheidung. Wenn $x$ positiv ist (und [mm] $<\sqrt{18}$), [/mm] steht auf der linken Seite was negatives und auf der rechten was positives, d.h. die Ungleichung ist immer erfüllt. Wenn x negativ ist, steht auf der linken Seite auch was positives, und du kanst quadrieren, da die Funktion [mm] $f(x)=x^2$ [/mm] auf dem hier interessanten Intervall [mm] $[0,\infty)$ [/mm] streng monoton wachsend ist. DAS ist der Grund warum dann aus [mm] $-x<\sqrt{26-2x^2}$ [/mm] folgt, dass auch [mm] $x^2<36-2x^2$ [/mm] gilt.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 Fr 10.10.2008 | | Autor: | csak1162 |
kann der Fall [mm] -\wurzel{18} [/mm] eintreten??
ist die Definitionsmenge nicht x < [mm] \wurzel{18}
[/mm]
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Hallo csak!
Die Bestimmungs(un)gleichung für die Ermittlung der Definitionsmenge lautte:
[mm] $$36-2*x^2 [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 0$$
[mm] $$\gdw [/mm] \ \ [mm] x^2 [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ 18$$
[mm] $$\gdw [/mm] \ \ |x| \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \wurzel{18} [/mm] \ = \ [mm] 3\wurzel{2}$$
[/mm]
[mm] $$\gdw [/mm] \ \ [mm] -3\wurzel{2} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ x \ [mm] \le +3\wurzel{2}$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 Fr 10.10.2008 | | Autor: | csak1162 |
ich habe jetzt als Definitionsbereich
1.) x < [mm] 3\wurzel{2} [/mm] und x > - [mm] 3\wurzel{2}
[/mm]
Stimmt das??
2.) als Lösungmenge erhalte ich x > [mm] -\wurzel{12}
[/mm]
a) weil bei x > 0 immer wahr
b) bei x [mm] \le [/mm] ( oder nur gleich oder wo soll die 0 hin) bekomme ich
als Lösung x > - [mm] \wurzel{12} [/mm]
Stimmt das oder habe ich wieder einen Fehler eingebaut?
und wie kann man das mit der Monotonie anders begründen, dass
man dann quadrieren darf??
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Hi, Csak,
> ich habe jetzt als Definitionsbereich
>
> 1.) x < [mm]3\wurzel{2}[/mm] und x > - [mm]3\wurzel{2}[/mm]
> Stimmt das??
"Und" im mathematischen Sinn stimmt fast: Die Ränder gehören aber noch dazu: siehe Roadrunners Antwort!
> 2.) als Lösungmenge erhalte ich x > [mm]-\wurzel{12}[/mm]
> a) weil bei x > 0 immer wahr
Aber auch hier nur INNERHALB der Definitionsmenge.
Daher: [mm] L_{1} [/mm] = [ 0 ; [mm] 3\wurzel{2} [/mm] ]
> b) bei x [mm]\le[/mm] ( oder nur gleich oder wo soll die 0 hin)
Egal, ob Du sie oben oder erst hier dazutust, sie gehört zur Lösungsmenge dazu!
> bekomme ich als Lösung x > - [mm]\wurzel{12}[/mm]
Also: [mm] L_{2} [/mm] = ] - [mm] \wurzel{12} [/mm] ; 0 [ bzw. ] - [mm] 2\wurzel{3} [/mm] ; 0 [
Und daher als Gesamtlösungsmenge:
L = ] [mm] -2\wurzel{3} [/mm] ; [mm] 3\wurzel{2} [/mm] ]
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:42 So 12.10.2008 | | Autor: | csak1162 |
ja ich bin schon etwas müde
beim 2ten fall x<0 komme ich auf x² < 12
nur da weiter, den rest habe ich
ist das jetzt - oder + was rauskommt ,
danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:52 So 12.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Da du schon x<0 vorrausgesetzt hst, kommt [mm] +\wurzel{12} [/mm] ja nicht mehr in Frage! Du hast doch schon dass alle pos x aus dem Def. Bereich dazugehoeren. Du hast doch die negativen x gesucht!
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:56 So 12.10.2008 | | Autor: | csak1162 |
also die Defmenge
ist [mm] [-3\wurzel{2},3\wurzel{2}]
[/mm]
dann, wenn x [mm] \ge [/mm] 0 ist die Gleichung immer erfüllt also
L = [mm] [0,3\wurzel{2}]
[/mm]
und wenn x < 0 dann darf ich quadrieren und erhalte dann eine quadratische Ungleichung
x² < 36 - 2x²
3x² < 36
x² < 12
und jetzt was ist die Wurzel aus 12
jetz - , oder plus, oder kann mir jemand kurz das erklären!
danke
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Hallo, du mußt doch unterscheiden zwischen dem Definitionsbereich und der Lösungsmenge:
Definitionsbereich: [mm] [-3\wurzel{2}; 3\wurzel{2}]
[/mm]
Lösungsmenge: [mm] ]-\wurzel{12}; 3\wurzel{2}]
[/mm]
zwerglein hat doch vorhin schon die Lösungsmenge angegeben, dort stand für [mm] -\wurzel{12}=-\wurzel{4*3}=-2\wurzel{3}
[/mm]
Beispiel: für x=-4 ist zwar [mm] \wurzel{36-2x^{2}} [/mm] definiert, aber es gilt nicht [mm] -x<\wurzel{36-2x^{2}}
[/mm]
als Ergänzug folgende Skizze:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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