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| Aufgabe | Beweisen Sie die Ungleichung xy [mm] \le [/mm] ( [mm] \bruch{x+y}{2} [/mm] )² mit positiven reellen Zahlen x und y
a) algebraisch
b) über Flächeninhalte von Rechtecken und Quadraten |
hallo. bin mir bei der a) nicht sicher, wie man bei dem beweis vorgehen muss. darf ich mit beiden seiten gleichzeitig arbeiten (wie bei einer normalen gleichung), oder muss ich mit der linken seite beginnen und mich zur rechten "vorarbeiten"? mit beiden seiten komm ich auf ein ergebnis, sollte ich das aber nicht dürfen, komm ich hier nicht weiter. dachte schon mal an:
xy [mm] \le [/mm] (x+y)(y+x) da x,y >0
= (x+y)²
....aber irgendwie bringt mich das ja auch nicht weiter. ist der ansatz den so ok?
gruß jenny
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:04 Do 23.10.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
a)
[mm] xy\le(\bruch{x+y}{2})^2
[/mm]
Jetzt kannst du Äquivalenzumforumungen vornehmen, bis etwas "offensichtliches" da steht.
[mm] xy\le\bruch{(x+y)}{4}
[/mm]
[mm] 4xy\le(x+y)²
[/mm]
[mm] 4xy\le [/mm] x²+2xy+y²
[mm] 0\le [/mm] x²-2xy+y²
0 [mm] \le [/mm] ...
Alles klar?
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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ok...dann hatte ich die a) ja richtig.
zur b): dort vergleiche ich ja ein rechteck mit den seitenlängen x und y mit einem quadrat, dessen seitenlänge das arithmetische mittel von x und y ist. und der flächeninhalt des quadrats ist stets größer als das des rechtecks...je größer die differenz zwischen x und y ist, desto ungleicher werden die flächeninhalte.
soweit meine überlegungen...aber wie gehts weiter?
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Hallo, mein Vorschlag
Rechteck:
1. Seite x
2. Seite y
für x=y heben wir zwei flächengleiche Quadrate
für x<y existiert ein c, es gilt y=x+c
Fläche Rechteck: [mm] x*(x+c)=x^{2}+xc
[/mm]
Quadrat:
beide Seiten [mm] \bruch{x+y}{2}=\bruch{2x+c}{2}
[/mm]
Fläche Quadrat: [mm] (\bruch{2x+c}{2})^{2}=x^{2}+xc+c^{2}
[/mm]
somit hast du: je größer c (Differenz der beiden Rechteckseiten), um so mehr unterscheiden sich die Flächen von Quadrat und Rechteck
Steffi
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