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Ungleichung: Lösung?
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 13:11 Do 10.09.2009
Autor: torstenM

Aufgabe
[mm]|z+1| \ge |i*z|[/mm]
[mm]z=x+iy\\[/mm]
[mm]z\in\IC\\ [/mm]

Hallo, ich habe die Aufgabe teilweise ausgerechnet, müsste aber das Ergebnis bzw. den Rechenweg wissen, weil ich mir nicht sicher bin ob richtig ist, was ich gemacht habe, bzw. wie es dann weitergeht.
Bis hierhin bin ich durch Umformung gekommen:

[mm]|x+iy| \ge -\frac{1}{1-i}[/mm]

        
Bezug
Ungleichung: Rechenweg?
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:15 Do 10.09.2009
Autor: Roadrunner

Hallo Torsten!


Poste doch mal bitte, wie Du auf diese Ungleichung gekommen bist. Denn diese erscheint mir irgendwie unwahrscheinlich.

Hier mal die ersten Schritte:

$$|z+1| \ [mm] \ge [/mm] \ |i*z|$$
$$|x+i*y+1| \ [mm] \ge [/mm] \ |i|*|x+i*y|$$
[mm] $$\wurzel{(x+1)^2+y^2} [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] 1*\wurzel{x^2+y^2}$$ [/mm]

Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                
Bezug
Ungleichung: Rechenweg! :)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:08 Do 10.09.2009
Autor: torstenM

Aufgabe
Mein Rechenweg war wie folgt:

[mm]|z+1| \ge |iz|[/mm]

[mm]|z|+|1|\ge|z|*|i|[/mm]

[mm]1+\frac{1}{|z|}\ge i[/mm]

[mm]\frac{1}{|x+iy|}\ge i-1[/mm]

[mm]\frac{1}{|x+iy|}\ge -(1-i)[/mm]

[mm]|x+iy|\ge -\frac{1}{1-i}[/mm]


Vielleicht war die Herangehensweise ja falsch?

Bezug
                        
Bezug
Ungleichung: Korrektur
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:15 Do 10.09.2009
Autor: Roadrunner

Hallo Torsten!


Die Herangehensweise habe ich Dir oben gezeigt.

Du machst folgenden Fehler beim Umformen der Beträge. Es gilt:
$$|a+b| \ [mm] \red{\not=} [/mm] \ |a|+|b|$$

Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                                
Bezug
Ungleichung: Danke!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:14 Do 10.09.2009
Autor: torstenM

Ok,
ich danke Dir erstmal für Deine Hilfe,
ich werd mich heute Abend nochmal mit der Aufgabe beschäftigen.

Wünsche einen schönen Nachmittag!

Torsten

Bezug
                                        
Bezug
Ungleichung: Lösung richtig?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:44 Di 15.09.2009
Autor: torstenM

Ich hatte nun etwas Zeit, die Lösung ist meiner Meinung nach, die Menge aller komplexen Zahlen, bei denen der Realanteil größer ist als -1/2.

Sollte doch stimmen, da beide Zeiger bzw. Zahlen sich mit einem Abstand von 1 "bewegen" und der Betrag des einen somit bis zu dem Punkt größer ist als der des anderen, bis beide die gleiche Entfernung zum Ursprung haben, also genau wenn der eine 1/2 links und der andere 1/2 rechts der y-Achse liegt?

Gute Nacht!

Bezug
                                                
Bezug
Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:14 Di 15.09.2009
Autor: schachuzipus

Hallo torstenM,

> Ich hatte nun etwas Zeit, die Lösung ist meiner Meinung
> nach, die Menge aller komplexen Zahlen, bei denen der
> Realanteil größer ist als -1/2.

[ok]

sogar [mm] $\{z\in\IC\mid \text{Re}(z)\red{\ge}-\frac{1}{2}\}$ [/mm]

Das kannst du mit einer sehr kurzen Rechnung auch beweisen, einfach $z=x+iy$ einsetzen und die Definition des Betrages einer komplexen Zahl anwenden ...


>  
> Sollte doch stimmen, da beide Zeiger bzw. Zahlen sich mit
> einem Abstand von 1 "bewegen" und der Betrag des einen
> somit bis zu dem Punkt größer ist als der des anderen,
> bis beide die gleiche Entfernung zum Ursprung haben, also
> genau wenn der eine 1/2 links und der andere 1/2 rechts der
> y-Achse liegt?

Kannst du das mal einfacher erklären?! [bahnhof]

Rechne es doch geradeheraus aus statt solch "schwammiger Prosa" , es sind 3 Zeilen ...

>  
> Gute Nacht!

[gutenacht]

schachuzipus

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