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| Aufgabe | Beweisen Sie,m dass für alle [mm] n\in\IN [/mm] gilt:
[mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{\sqrt{k}}\ge2\sqrt{n+1}-2 [/mm] |
Hallo zusammen!
Irgendwo hab ich hier einen Denkfehler. Ich hab versucht, den Beweis als Ungleichungskette aufzuschreiben, aber was unten rauskomt, widerlegt die Behauptung:
A(n=1):
[mm] \bruch{1}{\sqrt{1}}\ge 2\sqrt{2}-2
[/mm]
[mm] \gdw 1\ge 2\sqrt{2}-2
[/mm]
[mm] A(n)\to [/mm] A(n+1):
Vorr.: [mm] \summe_{k=1}^{n+1}\bruch{1}{\sqrt{k}}\ge 2\sqrt{n+2}-2
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}\bruch{1}{\sqrt{k}}=\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{\sqrt{k}}+\bruch{1}{\sqrt{n+1}}
[/mm]
[mm] \ge 2\sqrt{n+1}-2+\bruch{1}{\sqrt{n+1}}
[/mm]
[mm] =2\sqrt{n+2}-2+\bruch{(2\sqrt{n+1}-2\sqrt{n+2})\sqrt{n+1}+1}{\sqrt{n+1}}
[/mm]
[mm] \ge 2\sqrt{n+2}-2
[/mm]
[mm] \bruch{(2\sqrt{n+1}-2\sqrt{n+2})\sqrt{n+1}+1}{\sqrt{n+1}} [/mm] ist doch stets negativ, oder? Damit kann die letzte Zeile nicht stimmen. Was hab ich falsch gemacht?
Gruß,
Honko
edit:
Mir ist grad aufgefallen, dass [mm] 2\sqrt{n+1}-2\sqrt{n+2} [/mm] zwar immer negativ sind, aber immer <1. Damit ist mein Ansatz gerettet. Ist der denn formal richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:05 So 07.02.2010 | | Autor: | abakus |
> Beweisen Sie,m dass für alle [mm]n\in\IN[/mm] gilt:
> [mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{\sqrt{k}}\ge2\sqrt{n+1}-2[/mm]
> Hallo zusammen!
> Irgendwo hab ich hier einen Denkfehler. Ich hab versucht,
> den Beweis als Ungleichungskette aufzuschreiben, aber was
> unten rauskomt, widerlegt die Behauptung:
>
> A(n=1):
> [mm]\bruch{1}{\sqrt{1}}\ge 2\sqrt{2}-2[/mm]
> [mm]\gdw 1\ge 2\sqrt{2}-2[/mm]
>
> [mm]A(n)\to[/mm] A(n+1):
> Vorr.:
Falsch. Das ist bereits die Induktionsbehauptung.
>[mm]\summe_{k=1}^{n+1}\bruch{1}{\sqrt{k}}\ge 2\sqrt{n+2}-2[/mm]
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}\bruch{1}{\sqrt{k}}=\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{\sqrt{k}}+\bruch{1}{\sqrt{n+1}}[/mm]
> [mm]\ge 2\sqrt{n+1}-2+\bruch{1}{\sqrt{n+1}}[/mm]
>
Du hast in zwischen dem Term deiner vorhergehenden und deiner nachfolgenden Zeile ein Gleichheitszeichen. Wieso???
Gilt wirklich [mm] 2\sqrt{n+1}-2+\bruch{1}{\sqrt{n+1}}=2\sqrt{n+2}-2+\bruch{(2\sqrt{n+1}-2\sqrt{n+2})\sqrt{n+1}+1}{\sqrt{n+1}} [/mm] ?
Ich komme da auf
[mm] 2\sqrt{n+1}-2+\bruch{1}{\sqrt{n+1}}=\bruch{2(n+1)-2\sqrt{n+1} + 1}{\sqrt{n+1}}
[/mm]
Gruß Abakus
> [mm]=2\sqrt{n+2}-2+\bruch{(2\sqrt{n+1}-2\sqrt{n+2})\sqrt{n+1}+1}{\sqrt{n+1}}[/mm]
> [mm]\ge 2\sqrt{n+2}-2[/mm]
>
> [mm]\bruch{(2\sqrt{n+1}-2\sqrt{n+2})\sqrt{n+1}+1}{\sqrt{n+1}}[/mm]
> ist doch stets negativ, oder? Damit kann die letzte Zeile
> nicht stimmen. Was hab ich falsch gemacht?
>
> Gruß,
>
> Honko
>
> edit:
> Mir ist grad aufgefallen, dass [mm]2\sqrt{n+1}-2\sqrt{n+2}[/mm]
> zwar immer negativ sind, aber immer <1. Damit ist mein
> Ansatz gerettet. Ist der denn formal richtig?
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> Du hast in zwischen dem Term deiner vorhergehenden und
> deiner nachfolgenden Zeile ein Gleichheitszeichen.
> Wieso???
> Gilt wirklich
> [mm]2\sqrt{n+1}-2+\bruch{1}{\sqrt{n+1}}=2\sqrt{n+2}-2+\bruch{(2\sqrt{n+1}-2\sqrt{n+2})\sqrt{n+1}+1}{\sqrt{n+1}}[/mm]
> ?
>
Ja, weil [mm] 2\sqrt{n+1}-2+\bruch{1}{\sqrt{n+1}}+2\sqrt{n+2}-2\sqrt{n+2}
[/mm]
[mm] =2\sqrt{n+2}-2+\bruch{1}{\sqrt{n+1}}+2\sqrt{n+1}-2\sqrt{n+2}
[/mm]
[mm] =2\sqrt{n+2}-2+\bruch{2\sqrt{n+1}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n+2})+1}{\sqrt{n+1}}
[/mm]
> Ich komme da auf
> [mm]2\sqrt{n+1}-2+\bruch{1}{\sqrt{n+1}}=\bruch{2(n+1)-2\sqrt{n+1} + 1}{\sqrt{n+1}}[/mm]
>
??? Ist doch dasselbe, oder nicht?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:33 So 07.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja das ist richtig, aber warum machst du das? du willst doch wahrscheinlich zeigen, dass:
[mm] 2\sqrt{n+1}-2+\bruch{1}{\sqrt{n+1}}\le 2\sqrt{n+2}-2 [/mm] ist
die Gleichung würd ich mit [mm] \sqrt{n+1}>0 [/mm] multipl. und dann bestätigen, darauf achten, nur Äquivalenzumf. zu machen, dann kannst dus hinterher, wenn du willst von hinrten aufrollen
Gruss leduart
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