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Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:34 Sa 23.10.2010
Autor: melisa1

Aufgabe
Zeigen Sie, dass [mm] |\bruch{1}{x+1}- \bruch{1}{y+1}|\le [/mm] |x-y|, für alle x,y [mm] \ge [/mm] 0

Hallo,

ich habe versucht, dass mit der Umgekehrten Dreiecksungleichung zu lösen.

[mm] |x-y|\ge [/mm] ||x|-|y|| (und da x, y [mm] \ge [/mm] 0 sind kann ich die betragsstriche weglassen)= |x-y|  [mm] \ge |\bruch{1}{x}-\bruch{1}{y}|(und [/mm] da [mm] x\le [/mm] x+1) [mm] \ge |\bruch{1}{x+1}- \bruch{1}{y+1}| [/mm]


stimmt das so?

Danke im voraus


Lg Melisa
        
Bezug
Ungleichung: Brüche zusammenfassen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:46 Sa 23.10.2010
Autor: Loddar

Hallo Melisa!


So ganz kann ich Deiner Argumentation nicht folgen ... [kopfkratz3]


Bringe einfach die beiden Brüche auf einem Bruch und fasse zusammen. Dann liegt die Behauptung auch schon auf der Hand.


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:18 Sa 23.10.2010
Autor: melisa1

Hallo Loddar


danke erstmal für deine Antwort.



>  
>
> Bringe einfach die beiden Brüche auf einem Bruch und fasse
> zusammen. Dann liegt die Behauptung auch schon auf der
> Hand.
>  
>


Meinst du das so:

[mm] |\bruch{1}{x+1}- \bruch{1}{y+1}|= |\bruch{y+1}{(x+1)(y+1)}- \bruch{x+1}{(y+1)(x+1)}|= |\bruch{y-x}{(x+1)(y+1)}|\le [/mm] |y-x|= |x-y|


Lg Melisa
Bezug
                        
Bezug
Ungleichung: richtig erkannt
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:24 Sa 23.10.2010
Autor: Loddar

Hallo Melisa!


> Meinst du das so:
>  
> [mm]|\bruch{1}{x+1}- \bruch{1}{y+1}|= |\bruch{y+1}{(x+1)(y+1)}- \bruch{x+1}{(y+1)(x+1)}|= |\bruch{y-x}{(x+1)(y+1)}|\le[/mm] |y-x|= |x-y|

[ok] Genau.

Ich würde noch einen Zwischenschritt mehr einfügen mit:

[mm]... \ = \ \left|\bruch{y-x}{(x+1)*(y+1)}\right| \ = \ \bruch{|y-x|}{|(x+1)*(y+1)|} \ \overset{\text{warum?}}{=} \ \bruch{|y-x|}{(x+1)*(y+1)} \ \le \ ...[/mm]


Gruß
Loddar


Bezug
                                
Bezug
Ungleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:26 Sa 23.10.2010
Autor: melisa1

Ok super danke habs verstanden!
Bezug
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