Ungleichung < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie jeweils alle reellen Zahlen, die die folgende Ungleichung erfüllen:
$|x-3| < |x+1|$ |
Hallo,
bei diesem Bsp muss ich doch verschiedene Fälle annehmen oder?
1) $x-3 >0$
Somit gilt dann als Voraussetzung $x > 3$ oder?
1a) $x+1 >0$
$x > -1$
$x-3 < x+1$
$-3 < 1$ [mm] \rightarrow [/mm] wahre Aussage
Nun hab ich $x > 3$ und $x > -1$, was gilt nun?
Ich denke mal folgendes: $(-1, [mm] \infty)$
[/mm]
1b) $x+1 <0$
$x < -1$
$x-3 < -x-1$
$x < 2$
Nun hab ich $x > 3$ und $x < -1$, was gilt nun? Diese beiden Aussagen widersprechen sich.
2) $x-3 <0$
Somit gilt dann als Voraussetzung $x < 3$ oder?
2a) $x+1 >0$
$x > -1$
$-x+3 < x+1$
$x > 1$
Nun hab ich $x < 3$ und $x > -1$, bedeutet das folgendes: $(-1, 3)$
2b) $x+1 <0$
$-x+3 < -x-1$
$0 < -3$ [mm] \rightarrow [/mm] falsche Aussage
-------------------------------------------------
Was schließe ich nun aus den Ergebnissen?
$x > 3$ und $x > -1$
$x > 3$ und $x < -1$
$x < 3$ und $x > -1$
Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:29 Do 23.06.2011 | | Autor: | chrisno |
> bei diesem Bsp muss ich doch verschiedene Fälle annehmen
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> 1) [mm]x-3 >0[/mm]
>
> Somit gilt dann als eine Voraussetzung [mm]x > 3[/mm] oder?
>
> 1a) [mm]x+1 >0[/mm]
Die zweite Voraussetzung, die Du für die Fallunterscheidung machst.
> [mm]x > -1[/mm]
>
> [mm]x-3 < x+1[/mm]
> [mm]-3 < 1[/mm] [mm]\rightarrow[/mm] wahre Aussage
>
> Nun hab ich [mm]x > 3[/mm] und [mm]x > -1[/mm], was gilt nun?
> Ich denke mal folgendes: [mm](-1, \infty)[/mm]
Du hast zwei Voraussetzungen, die beide stimmen müssen, sonst gilt die Schlussfolgerung nicht.
Also muss x sowohl größer als 3, als auch größer als -1 sein. Dieser Fall tritt nur ein, wenn x>3 ist.
>
> 1b) [mm]x+1 <0[/mm]
>
> [mm]x < -1[/mm]
Hier musst Du schon aufhören. Denn nun soll x<-1 und x>3 sein. Da es kein solches x gibt, ist kein weiterer Gedanke nötig.
>
> 2) [mm]x-3 <0[/mm]
>
> Somit gilt dann als Voraussetzung [mm]x < 3[/mm] ?
> 2a) [mm]x+1 >0[/mm]
>
> [mm]x > -1[/mm]
>
> [mm]-x+3 < x+1[/mm]
> [mm]x > 1[/mm]
>
> Nun hab ich [mm]x < 3[/mm] und [mm]x > -1[/mm], bedeutet das folgendes: [mm](-1, 3)[/mm]
Einfach eine Klammer in die Gegend stellen reicht nicht. Entweder Symbole oder Klartext.
Ich würde vermuten, Du meinst: "Alle x, die aus dem Intervall kommen, erfüllen die Ungleichung."
Das ist aber falsch. Denn damit die Ungleichung stimmt, muss ja auch x > 1 gelten, wie Du selbst geschrieben hast.
>
> 2b) [mm]x+1 <0[/mm]
>
> [mm]-x+3 < -x-1[/mm]
> [mm]0 < -3[/mm] [mm]\rightarrow[/mm] falsche Aussage
Also gibt es hier keine Lösung
>
Nun hast Du unpraktischerweise einige Fälle ausgelassen. Du hast noch keinen Fall untersucht, bei dem ein Gleichheitszeichen steht, also einer der beiden Beträge null wird.
> -------------------------------------------------
>
> Was schließe ich nun aus den Ergebnissen?
> [mm]x > 3[/mm] und [mm]x > -1[/mm]
>
> [mm]x > 3[/mm] und [mm]x < -1[/mm]
>
> [mm]x < 3[/mm] und [mm]x > -1[/mm]
>
Was soll das denn heißen? (Freundliche Formulierung für etwas gröberes, das ich fast getippt hätte.)
Du hast eine Ungleichung und musst nun schreiben:
Diese Ungleichung gilt für alle x, die folgende Bedingungen erfüllen .....
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Danke für deine Antwort
> > bei diesem Bsp muss ich doch verschiedene Fälle annehmen
>
> >
> > 1) [mm]x-3 >0[/mm]
> >
> > Somit gilt dann als eine Voraussetzung [mm]x > 3[/mm] oder?
> >
> > 1a) [mm]x+1 >0[/mm]
> Die zweite Voraussetzung, die Du für die
> Fallunterscheidung machst.
> > [mm]x > -1[/mm]
> >
> > [mm]x-3 < x+1[/mm]
> > [mm]-3 < 1[/mm] [mm]\rightarrow[/mm] wahre Aussage
> >
> > Nun hab ich [mm]x > 3[/mm] und [mm]x > -1[/mm], was gilt nun?
> > Ich denke mal folgendes: [mm](-1, \infty)[/mm]
> Du hast zwei
> Voraussetzungen, die beide stimmen müssen, sonst gilt die
> Schlussfolgerung nicht.
> Also muss x sowohl größer als 3, als auch größer als
> -1 sein. Dieser Fall tritt nur ein, wenn x>3 ist.
>
> >
> > 2) [mm]x-3 <0[/mm]
> >
> > Somit gilt dann als Voraussetzung [mm]x < 3[/mm] ?
>
> > 2a) [mm]x+1 >0[/mm]
> >
> > [mm]x > -1[/mm]
> >
> > [mm]-x+3 < x+1[/mm]
> > [mm]x > 1[/mm]
> >
> > Nun hab ich [mm]x < 3[/mm] und [mm]x > -1[/mm], bedeutet das folgendes: [mm](-1, 3)[/mm]
>
> Einfach eine Klammer in die Gegend stellen reicht nicht.
> Entweder Symbole oder Klartext.
> Ich würde vermuten, Du meinst: "Alle x, die aus dem
> Intervall kommen, erfüllen die Ungleichung."
> Das ist aber falsch. Denn damit die Ungleichung stimmt,
> muss ja auch x > 1 gelten, wie Du selbst geschrieben hast.
> >
> Nun hast Du unpraktischerweise einige Fälle ausgelassen.
> Du hast noch keinen Fall untersucht, bei dem ein
> Gleichheitszeichen steht, also einer der beiden Beträge
> null wird.
Wie meinst du das? Soll ich auch noch die Fälle $x=3$ und $x=-1$ betrachten?
Bisher hab ich zwei Intervalle.
Für Fall 1 wird die Ungleichung für [mm] $x\in (3,\infty)$ [/mm] erfüllt.
Für Fall 2 wird die Ungleichung für [mm] $x\in [/mm] (1,3)$ erfüllt.
Was schließe ich nun aus den beiden Ergebnissen?
Lg
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Hallo, nehme den guten alten Zahlenstrahl, zeichne beide Intervalle ein, schwupsdiewups hast du x>1, Steffi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:52 Fr 24.06.2011 | | Autor: | fred97 |
$ |x-3| < |x+1| $ [mm] \gdw [/mm] $ [mm] |x-3|^2 [/mm] < [mm] |x+1|^2 [/mm] $ [mm] \gdw $x^2-6x+9 [/mm] < [mm] x^2+2x+1$
[/mm]
Jetzt Du.
FRED
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Hallo dreamweaver,
> Bestimmen Sie jeweils alle reellen Zahlen, die die folgende
> Ungleichung erfüllen:
>
> [mm]|x-3| < |x+1|[/mm]
alternativ zu den langwierigen Fallunterscheidungen und zu Freds Tipp kann man solch "einfache" Betragsungleichungen doch ad hoc zeichnerisch lösen.
Zeichne [mm]f(x)=|x-3|[/mm] und [mm]g(x)=|x+1|[/mm] in ein Koordinatensystem, dann schaue, wo der Graph von [mm]f[/mm] unterhalb des Graphen von [mm]g[/mm] verläuft.
Gruß
schachuzipus
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