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| Aufgabe | | Bestimmen Sie die reelle Lösungsmeng der folgenden Ungleichung: [mm] |x-4|\ge|x-1| [/mm] |
Hallo liebes Forum,
Habe wieder mal eine Frage zur Analysis, da das Thema Ungleichungen doch schon eine Weile her ist bei mir.
Ich habe bei dieser Ungleichung bereits Fallunterscheidung durchgeführt:
1.) x-1 [mm] \ge [/mm] 0 -> x [mm] \ge1
[/mm]
x-4 [mm] \ge [/mm] 0 -> x [mm] \ge4
[/mm]
2.) x-1 [mm] \le [/mm] 0 -> x [mm] \le1
[/mm]
x-4 [mm] \le [/mm] 0 -> x [mm] \le4
[/mm]
3.) x-1 [mm] \le [/mm] 0 -> x [mm] \le1
[/mm]
x-4 [mm] \ge [/mm] 0 -> x [mm] \ge [/mm] 4
dies führt auf einen Widerspruch und ist daher für weitere Betrachtungen irrelevant.
4.) x-1 [mm] \ge [/mm] 0 -> x [mm] \ge1
[/mm]
x-4 [mm] \le [/mm] 0 -> x [mm] \le4
[/mm]
Nun habe ich ich die Fälle 1,2 und 4 betrachtet:
1.) [mm] x-4\ge [/mm] x-1 -> x [mm] \ge [/mm] x+3
Dies stellt wieder einen Widerspruch dar (da [mm] x\ge4)
[/mm]
2.) -x+4 [mm] \ge [/mm] -x+1 -> -x [mm] \ge [/mm] -x+5 -> [mm] x\le [/mm] x-5
die Lösungsmenge ist in diesem Fall dann [mm] (-\infty [/mm] , 1)
4.) -x+4 [mm] \ge [/mm] x-1 -> 5 [mm] \ge [/mm] 2x -> [mm] (5/2)\ge [/mm] x
Lösungsmende für Fall 4: (1,(5/2))
Da die Summe der Lösungsmengen mir meine "gesamt"-Lösungsmenge bildet, folgt für meine gesuchte Lösungsmenge: [mm] (-\infty,(5/2))
[/mm]
Ist dies korrekt oder bin ich mal wieder komplett auf dem Holzweg ?
Würde mich sehr freuen, wenn ihr mir helfen könntet.
LG Scherzkrapferl
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:53 Mo 31.10.2011 | | Autor: | abakus |
> Bestimmen Sie die reelle Lösungsmeng der folgenden
> Ungleichung: [mm]|x-4|\ge|x-1|[/mm]
> Hallo liebes Forum,
>
> Habe wieder mal eine Frage zur Analysis, da das Thema
> Ungleichungen doch schon eine Weile her ist bei mir.
>
> Ich habe bei dieser Ungleichung bereits Fallunterscheidung
> durchgeführt:
>
> 1.) x-1 [mm]\ge[/mm] 0 -> x [mm]\ge1[/mm]
> x-4 [mm]\ge[/mm] 0 -> x [mm]\ge4[/mm]
>
>
> 2.) x-1 [mm]\le[/mm] 0 -> x [mm]\le1[/mm]
> x-4 [mm]\le[/mm] 0 -> x [mm]\le4[/mm]
>
> 3.) x-1 [mm]\le[/mm] 0 -> x [mm]\le1[/mm]
> x-4 [mm]\ge[/mm] 0 -> x [mm]\ge[/mm] 4
>
> dies führt auf einen Widerspruch und ist daher für
> weitere Betrachtungen irrelevant.
>
> 4.) x-1 [mm]\ge[/mm] 0 -> x [mm]\ge1[/mm]
> x-4 [mm]\le[/mm] 0 -> x [mm]\le4[/mm]
>
> Nun habe ich ich die Fälle 1,2 und 4 betrachtet:
>
> 1.) [mm]x-4\ge[/mm] x-1 -> x [mm]\ge[/mm] x+3
>
> Dies stellt wieder einen Widerspruch dar (da [mm]x\ge4)[/mm]
>
> 2.) -x+4 [mm]\ge[/mm] -x+1 -> -x [mm]\ge[/mm] -x+5 -> [mm]x\le[/mm] x-5
>
> die Lösungsmenge ist in diesem Fall dann [mm](-\infty[/mm] , 1)
>
> 4.) -x+4 [mm]\ge[/mm] x-1 -> 5 [mm]\ge[/mm] 2x -> [mm](5/2)\ge[/mm] x
>
> Lösungsmende für Fall 4: (1,(5/2))
>
> Da die Summe der Lösungsmengen mir meine
> "gesamt"-Lösungsmenge bildet, folgt für meine gesuchte
> Lösungsmenge: [mm](-\infty,(5/2))[/mm]
>
>
> Ist dies korrekt oder bin ich mal wieder komplett auf dem
> Holzweg ?
>
> Würde mich sehr freuen, wenn ihr mir helfen könntet.
>
> LG Scherzkrapferl
Hallo,
ohne jede Rechnung:
[mm] |x-4|\ge|x-1| [/mm] bedeutet auf der Zahlengeraden:
"Der Abstand von x zur Zahl 4 ist mindestens so groß wie der Abstand von x zur Zahl 1".
Diese Aussage erfüllen alle Zahlen, die in der Mitte zwischen 1 und 4 bzw. links von dieser Mitte liegen (also [mm] x\le [/mm] 2,5).
Gruß Abakus
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> Hallo,
> ohne jede Rechnung:
> [mm]|x-4|\ge|x-1|[/mm] bedeutet auf der Zahlengeraden:
> "Der Abstand von x zur Zahl 4 ist mindestens so groß wie
> der Abstand von x zur Zahl 1".
Vielen Dank für diese Information. War mir nicht bewusst dass man diese Ungleichung auch so einfach beschreiben kann.
> Diese Aussage erfüllen alle Zahlen, die in der Mitte
> zwischen 1 und 4 bzw. links von dieser Mitte liegen (also
> [mm]x\le[/mm] 2,5).
> Gruß Abakus
Also ist meine Antwort [mm] (-\infty,(5/2)) [/mm] Richtig, da der Definitionsbereich [mm] \IR [/mm] ohne{-(3/2),4} ist und somit auch alle negativen Zahlen von [mm] -\infty [/mm] bis 0 beinhaltet ?!
LG Scherzkrapferl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:25 Mo 31.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo,
> > ohne jede Rechnung:
> > [mm]|x-4|\ge|x-1|[/mm] bedeutet auf der Zahlengeraden:
> > "Der Abstand von x zur Zahl 4 ist mindestens so groß
> wie
> > der Abstand von x zur Zahl 1".
>
> Vielen Dank für diese Information. War mir nicht bewusst
> dass man diese Ungleichung auch so einfach beschreiben
> kann.
>
> > Diese Aussage erfüllen alle Zahlen, die in der Mitte
> > zwischen 1 und 4 bzw. links von dieser Mitte liegen (also
> > [mm]x\le[/mm] 2,5).
> > Gruß Abakus
>
> Also ist meine Antwort [mm](-\infty,(5/2))[/mm] Richtig,
Nein. die Ungleichung gilt genau dann, wenn x [mm] \le [/mm] 5/2 ist. Das hat Abakus Dir schon gesagt und ich ebenfalls.
> da der
> Definitionsbereich [mm]\IR[/mm] ohne{-(3/2),4} ist
Was soll das ? ?????
> und somit auch
> alle negativen Zahlen von [mm]-\infty[/mm] bis 0 beinhaltet ?!
...rätselhaft....
FRED
>
> LG Scherzkrapferl
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> > Also ist meine Antwort [mm](-\infty,(5/2))[/mm] Richtig,
>
>
> Nein. die Ungleichung gilt genau dann, wenn x [mm]\le[/mm] 5/2 ist.
> Das hat Abakus Dir schon gesagt und ich ebenfalls.
genau das bedeutet doch [mm] (-\infty,(5/2)). [/mm] In jedem Fall ist x [mm] \le [/mm] 5/2.
Unser Professor verlangt das Angeben einer Lösungsmenge. Bei einem Ähnlichem Beispiel in unserem skript wird eine Lösung x [mm] \le [/mm] 1 als [mm] (-\infty,1) [/mm] dargestellt.
> > da der
> > Definitionsbereich [mm]\IR[/mm] ohne{-(3/2),4} ist
>
> Was soll das ? ?????
Sorry habe mich in meinen Notizen verschaut. Sollte eigentlich nur [mm]\IR[/mm] heißen. War mit den Gedanken nicht ganz dabei.
>
> > und somit auch
> > alle negativen Zahlen von [mm]-\infty[/mm] bis 0 beinhaltet ?!
>
> ...rätselhaft....
Wollte wissen ob auch alle negativen Zahlen als x infragekommen können.
LG Scherzkrapferl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:39 Mo 31.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> > > Also ist meine Antwort [mm](-\infty,(5/2))[/mm] Richtig,
> >
> >
> > Nein. die Ungleichung gilt genau dann, wenn x [mm]\le[/mm] 5/2 ist.
> > Das hat Abakus Dir schon gesagt und ich ebenfalls.
>
>
> genau das bedeutet doch [mm](-\infty,(5/2)).[/mm]
Nein. $x [mm] \in (-\infty,(5/2))$ \gdw [/mm] x<5/2
> In jedem Fall ist
> x [mm]\le[/mm] 5/2.
> Unser Professor verlangt das Angeben einer Lösungsmenge.
> Bei einem Ähnlichem Beispiel in unserem skript wird eine
> Lösung x [mm]\le[/mm] 1 als [mm](-\infty,1)[/mm] dargestellt.
Dann hast Du für obige Aufgabe: $ [mm] (-\infty,5/2]$
[/mm]
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> > > da der
> > > Definitionsbereich [mm]\IR[/mm] ohne{-(3/2),4} ist
> >
> > Was soll das ? ?????
>
> Sorry habe mich in meinen Notizen verschaut. Sollte
> eigentlich nur [mm]\IR[/mm] heißen. War mit den Gedanken nicht ganz
> dabei.
>
> >
> > > und somit auch
> > > alle negativen Zahlen von [mm]-\infty[/mm] bis 0 beinhaltet ?!
> >
> > ...rätselhaft....
>
> Wollte wissen ob auch alle negativen Zahlen als x
> infragekommen können.
>
> LG Scherzkrapferl
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Vielen Dank. Hast mir sehr geholfen.
LG Scherzkrapferl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:58 Mo 31.10.2011 | | Autor: | fred97 |
Falls Rechnungen verlangt sind, hier eine Rechnung ohne Fallunterscheidung:
$ [mm] |x-4|\ge|x-1| [/mm] $ [mm] \gdw (x-4)^2 \ge (x-1)^2 \gdw x^2-8x+16 \ge x^2-2x+1 \gdw [/mm] 6x [mm] \le [/mm] 15
FRED
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Vielen Dank FRED, wäre meine 2. Idee gewesen, da hier das Quadrieren ja die Beträge "beseitigt".
LG Scherzkrapferl
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