Ungleichung < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:25 Di 19.02.2013 | | Autor: | lisa2802 |
| Aufgabe | Für n [mm] \in \IN [/mm] beliebige positive Zahlen [mm] a_{1},...,a_{n} \in \IQ [/mm] Beweise man die Relation
[mm] (\summe_{i=1}^{n} a_{i}) (\summe_{i=1}^{n} a_{i}^{-1}) \ge n^{2} [/mm] |
Zeigt man das per Induktion?
IA) n=1 [mm] (\summe_{i=1}^{1} a_{i}) (\summe_{i=1}^{1} a_{i}^{-1}) \ge 1^{2} \gdw a_{1}\*a_{1}^{-1} \ge [/mm] 1 [mm] \gdw [/mm] 1 [mm] \ge [/mm] 1
IS) [mm] (\summe_{i=1}^{n+1} a_{i}) (\summe_{i=1}^{n+1} a_{i}^{-1}) \ge (n+1)^{2} [/mm] = [mm] n^{2} [/mm] +2n +1
[mm] \gdw (\summe_{i=1}^{n+1} a_{i}) (\summe_{i=1}^{n+1} a_{i}^{-1}) [/mm] =
[mm] (\summe_{i=1}^{n} a_{i}+ a_{n+1}) (\summe_{i=1}^{n} a_{i}^{-1}+a_{n+1}^{-1}) [/mm] =
[mm] (\summe_{i=1}^{n} a_{i}) (\summe_{i=1}^{n} a_{i}^{-1}) [/mm] + [mm] (a_{n+1}^{-1} [/mm] * [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i}) [/mm] + [mm] (a_{n+1}* \summe_{i=1}^{n} a_{i}^{-1}) [/mm] + [mm] a_{n+1} [/mm] * [mm] a_{n+1}^{-1} [/mm] =
[mm] (\summe_{i=1}^{n} a_{i}) (\summe_{i=1}^{n} a_{i}^{-1}) [/mm] + [mm] (a_{n+1}^{-1}* \summe_{i=1}^{n} a_{i}) [/mm] + [mm] (a_{n+1}* \summe_{i=1}^{n} a_{i}^{-1}) [/mm] + 1 =
So jetzt weiß ich nicht genau weiter
[mm] (a_{n+1}^{-1}* \summe_{i=1}^{n} a_{i}) [/mm] = [mm] \bruch{a_{1}}{a_{n+1}} [/mm] + ...+ [mm] \bruch{a_{n}}{a_{n+1}} [/mm] = [mm] \bruch{a_{1}+...+a_{n}}{a_{n+1}} [/mm]
[mm] (a_{n+1}* \summe_{i=1}^{n} a_{i}^{-1}) [/mm] = [mm] a_{n+1} [/mm] ( [mm] \bruch{1}{a_{1}} [/mm] + ... [mm] +\bruch{1}{a_{n}}) [/mm] = [mm] a_{n+1} [/mm] * [mm] (\bruch{a_{1}+...+a_{n}}{a_{1} * ...* a_{n}})
[/mm]
[mm] (\summe_{i=1}^{n} a_{i}) (\summe_{i=1}^{n} a_{i}^{-1}) [/mm] = [mm] \bruch {a_{1}}{a_{1}}+ [/mm] ... + [mm] \bruch {a_{1}}{a_{n}} [/mm] + ... + [mm] \bruch {a_{n}}{a_{1}} [/mm] + ... + [mm] \bruch {a_{n}}{a_{n}} [/mm]
[mm] \bruch {a_{1}}{a_{1}} [/mm] + ... + [mm] \bruch {a_{n}}{a_{n}} [/mm] = [mm] \underbrace{1+1+...+1}_{=n}
[/mm]
Ich hab extra die teile einzeln betrachtet, damit mir eventuell was auffällt aber irgendwie sehe ich nichts!
Seht ihr irgendwo einen Fehler?
Danke
okay vielleicht doch noch eine Idee von mir : laut IV ist [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i}) (\summe_{i=1}^{n} a_{i}^{-1}) \ge n^{2} [/mm] kann ich's dann nicht "ersetzen"?
[mm] \underbrace{(\summe_{i=1}^{n} a_{i}) (\summe_{i=1}^{n} a_{i}^{-1})}_{\ge n^{2}} [/mm] + [mm] (a_{n+1}^{-1}* \summe_{i=1}^{n} a_{i}) [/mm] + [mm] (a_{n+1}* \summe_{i=1}^{n} a_{i}^{-1}) [/mm] + 1 [mm] \ge n^{2} [/mm] +2n +1
[mm] \gdw (a_{n+1}^{-1}* \summe_{i=1}^{n} a_{i}) [/mm] + [mm] (a_{n+1}* \summe_{i=1}^{n} a_{i}^{-1}) \ge [/mm] 2 *n
Oder geht das nicht? Ich meine bis jetzt bringt mich das nicht weiter aber ich bin schonmal ein wenig los 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:24 Di 19.02.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du das auf den Hauptnenner bringst
kommst du auf die Ungleichung ywischen arithmetischem und geometrischen Mittel
[mm] (\summe_{i=1}^{n}a_i)^2
dazu gibts viele beweise etwa in
http://de.wikipedia.org/wiki/Ungleichung_vom_arithmetischen_und_geometrischen_Mittel
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:36 Di 19.02.2013 | | Autor: | lisa2802 |
Was auf den Hauptnenner bringen?
Das hier?
[mm] (a_{n+1}^{-1}* \summe_{i=1}^{n} a_{i}) [/mm] + [mm] (a_{n+1}* \summe_{i=1}^{n} a_{i}^{-1}) \ge [/mm] 2 *n
Dann Stände da ja
[mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i}^{2}+ a_{n+1}^{2} [/mm] ) [mm] \ge [/mm] 2n* [mm] \produkt_{i=1}^{n} a_{i} [/mm] * [mm] a_{n+1} [/mm]
[mm] \gdw [/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{n+1} a_{i}^{2} [/mm] ) [mm] \ge [/mm] 2n* [mm] \produkt_{i=1}^{n+1} a_{i} [/mm] oder? :/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:41 Di 19.02.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
du sollst von Anfang an, die Ungleichung umschreiben, indem du die zweite summe als [mm] \summe_{i=1}^{n}a_i/\produkt_{i=1}^{n}a_i [/mm] schreibst und mit der ersten auf den HN bringst, dann meinen link ansehen.
das war kein Schritt in deiner Induktion, ich habe nicht überlegt, ob du es da auch verwenden kannst,
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:55 Di 19.02.2013 | | Autor: | lisa2802 |
Sorry aber ich steh gerade auf dem Schlauch!
Meinst du schon in der "ursprungsungleichung"??
Also in [mm] (\summe_{i=1}^{n} a_{i}) (\summe_{i=1}^{n} a_{i}^{-1})\ge n^{2}
[/mm]
Wäre das nicht
[mm] (\summe_{i=1}^{n} a_{i})^{n} \ge n^{2} [/mm] * [mm] \produkt_{i=1}^n a_{i} [/mm] ?
Ich bin jetzt voll verwirrt! :D
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:35 Di 19.02.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, genauso. wenn du jetyt durch n``2 teist und die Wuryel yiehst hast du die Ungl zw. arithmetischem und geom. Mittel. vielleicht erkennst du es besser f[r n)2_
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:11 Di 19.02.2013 | | Autor: | fred97 |
Hattet Ihr schon die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung:
[mm] \left(\sum_{i=1}^{n} x_i \cdot y_i \right)^2 \leq \left(\sum_{i=1}^{n} x_i^2\right) \cdot \left(\sum_{i=1}^{n} y_i^2\right) [/mm] ?
Wenn ja, so setze
[mm] x_i=\wurzel{a_i} [/mm] und [mm] y_i=\bruch{1}{\wurzel{a_i}}
[/mm]
FRED
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