Ungleichung < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:40 Do 24.10.2013 | | Autor: | yannikk |
Hallo alle zusammen,
Ich habe momentan folgendes Problem:
Die Ungleichung
[mm] \bruch{1}{k!} \le \bruch{1}{2^{k-1}} [/mm] für alle k [mm] \in \IN [/mm] mit Null bereitet Probleme.
Der Induktionsanfang für k = 0 ist erfüllt und nun habe ich den Induktionsschritt aufgestellt.
[mm] \bruch{1}{(k+1)!} \le \bruch{1}{2^{(k+1)-1}}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] k!(k+1) [mm] \ge 2^{k}
[/mm]
Habe hier nun den Kehrwert genommen, damit man damit einfacher rechnen kann. Dabei dreht sich ja das Ungleichungszeichen um.
Nun kann ich ja meine Induktionsvorraussetzung für k! einsetzen und erhalte :
[mm] \gdw 2^{k-1}(k+1) \ge 2^{k}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{2^{k}}{2}(k+1) \ge 2^{k}
[/mm]
[mm] \gdw 2^{k} \bruch{k+1}{2} \ge 2^{k}
[/mm]
So habe ich gezeigt das im IA für k= 0 Gleichheit ist und im IS ist für k>0 die Ungleichung auch erfüllt. Wenn ich jetzt aber im IS am Ende für k = 0 einsetze ist die rechte Seite größer als die Linke. Dies dürfte ja nicht passieren, nur wo liegt jetzt genau mein Fehler?
Ich hoffe ich konnte mein Problem genau genug erklären,
Vielen Dank für die Mühe und den hoffentlich Entscheidenen Tipp :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:21 Do 24.10.2013 | | Autor: | yannikk |
Den Induktionsanfang habe ich mir nur gespart da er letztendlich auch ablesbar ist. Natürlich habe ich ihn in meiner Aufzeichnung mitnotiert.
Das Äquivalentszeichen ist natürlich Schwachsinn und sollte da nicht hin, schliesslich ist unsere Induktiosnvermutung kleinergleich und wir ersetzen hier unser k! mit einem größeren Term.
Meine Frage bezog sich jetzt auf die letzte Zeile. Wenn ich am Ende beispielhaft in die Ungleichung k = 0 einsetze bekomme ich auf der rechten Seite ein größeres Ergebniss als auf der klinken und das darf nicht passieren, da wir ja schon am Induktiosnanfang gezeigt haben das es für k = 0 kleiner ist.
Ich sehe leider nur meinen Fehler nicht und hoffe auf einen Tipp eurerseits.
Sinnlose Beiträge , indem über einen einzigen Tippfehler geschimpft wird und mir keinerlei hilfreiches Feedback zurückgesendet wird bitte ich zu unterlasse, da es ja schliesslich auch eure kostbare Zeit in Anspruch nimmt.
Für weitere Schreibfehler entschuldige ich mich schon mal im Vorfeld.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:24 Do 24.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Den Induktionsanfang habe ich mir nur gespart da er
> letztendlich auch ablesbar ist. Natürlich habe ich ihn in
> meiner Aufzeichnung mitnotiert.
>
> Das Äquivalentszeichen ist natürlich Schwachsinn und
> sollte da nicht hin, schliesslich ist unsere
> Induktiosnvermutung kleinergleich und wir ersetzen hier
> unser k! mit einem größeren Term.
>
> Meine Frage bezog sich jetzt auf die letzte Zeile. Wenn ich
> am Ende beispielhaft in die Ungleichung k = 0 einsetze
> bekomme ich auf der rechten Seite ein größeres Ergebniss
> als auf der klinken und das darf nicht passieren, da wir ja
> schon am Induktiosnanfang gezeigt haben das es für k = 0
> kleiner ist.
>
> Ich sehe leider nur meinen Fehler nicht und hoffe auf einen
> Tipp eurerseits.
Dann zieh Dir das rein:
https://matheraum.de/read?i=985586
FRED
>
> Sinnlose Beiträge , indem über einen einzigen Tippfehler
> geschimpft wird und mir keinerlei hilfreiches Feedback
> zurückgesendet wird bitte ich zu unterlasse, da es ja
> schliesslich auch eure kostbare Zeit in Anspruch nimmt.
>
> Für weitere Schreibfehler entschuldige ich mich schon mal
> im Vorfeld.
>
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:19 Do 24.10.2013 | | Autor: | fred97 |
Wie Al schon sagte: beweise doch die Ungleichung
[mm] $2^{k-1}\le [/mm] k!$ für $k [mm] \in \IN_0$.
[/mm]
Wenn Du den Induktionsschritt erfolgreich hinter Dich bringen willst, benötigst Du als Induktionsvoraussetzung:
für ein $k [mm] \in \IN_0$ [/mm] mit $k [mm] \ge [/mm] 1$ gelte [mm] $2^{k-1}\le [/mm] k!$.
Mach das mal, dann wirst Du sehen, warum Du $k [mm] \ge [/mm] 1$ benötigst.
Daher mache den Induktionsanfang für $k=0$ und $k=1$
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:24 Do 24.10.2013 | | Autor: | yannikk |
Habe den Induktionsanfang gezeigt für k = 0, nur mir ist jetzt nicht genau klar, warum ich für k = 1 auch einen brauche?
MFg Yannik
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:26 Do 24.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Habe den Induktionsanfang gezeigt für k = 0, nur mir ist
> jetzt nicht genau klar, warum ich für k = 1 auch einen
> brauche?
Das hab ich doch oben geschrieben ! mach mal den Schrit von k auf k+1 und schau, was Du dafür brauchst, damit der Schritt gelingt.
FRED
>
> MFg Yannik
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:29 Do 24.10.2013 | | Autor: | yannikk |
Ich ahnen was du mir sagen möchtest, ich habe zunächst den Induktionsanfang gezeigt für k = 0, wenn ich nun den Induktionsschritt zeige für k größer Null sollte das dann ausreichen. Habe ich das richtig verstanden?
Warum darf dann im Induktionsschritt für k = 0 die 'Ungleichung nicht mehr erfüllt sein?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:32 Do 24.10.2013 | | Autor: | yannikk |
Habe es gerade gemacht und Verstehe was ihr beiden meint. Manchmal steht man nur auf dem Schlauch und fühlt sich von der Mathematik veralbert.
Vielen Dank ihr beiden! :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:37 Do 24.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Habe es gerade gemacht und Verstehe was ihr beiden meint.
Glückwunsch !
> Manchmal steht man nur auf dem Schlauch und fühlt sich von
> der Mathematik veralbert.
Das geht mir auch oft so !
>
>
> Vielen Dank ihr beiden! :)
Bitteschön.
FRED
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