Ungleichung Matrizenprodukt < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:44 Do 14.10.2010 | | Autor: | papillon |
| Aufgabe | Zeigen Sie dass für die Matrix $A>0$ und die Vektoren $x$ und $y(t)$ mit $|y(t)| [mm] \le [/mm] k [mm] \ctimes [/mm] |t|$ die Abschätzung
[mm] $|2x^T [/mm] A y(t)| [mm] \le x^T [/mm] A x + [mm] y(t)^T [/mm] A y(t) [mm] \le x^T [/mm] A x + 2 [mm] \parallel [/mm] A [mm] \parallel [/mm] ( [mm] k^2 \ctimes |t|^2)$
[/mm]
gilt, wobei [mm] \parallel [/mm] A [mm] \parallel [/mm] die induzierte 2-norm der Matrix A darstellt. |
Hallo,
leider gelingt es mir nicht, diese Abschätzung zu beweisen. Ich kann zeigen, dass gilt
[mm] $-2x^T [/mm] A y(t) [mm] \le x^T [/mm] A x + [mm] y(t)^T [/mm] A y(t)$,
indem ich einfach das Produkt
[mm] $\pmat{x^TP & y^T} \pmat{P^-1 & I \\ I & P} \pmat{P^Tx\\y}\ge0$
[/mm]
mit [mm] $\pmat{P^{-1} & I \\ I & P}\ge [/mm] 0$ auswerte. Aber damit ist der erste Teil der zu beweisenden Ungleichung ja noch nicht gezeigt, und außerdem bleibt noch der zweite Teil zu beweisen. Hat da jemand eine Idee?
Vielen Dank schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:37 Fr 15.10.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Zeigen Sie dass für die Matrix [mm]A>0[/mm] und die Vektoren [mm]x[/mm] und
> [mm]y(t)[/mm] mit [mm]|y(t)| \le k \ctimes |t|[/mm] die Abschätzung
>
> [mm]|2x^T A y(t)| \le x^T A x + y(t)^T A y(t) \le x^T A x + 2 \parallel A \parallel ( k^2 \ctimes |t|^2)[/mm]
>
> gilt, wobei [mm]\parallel[/mm] A [mm]\parallel[/mm] die induzierte 2-norm der
> Matrix A darstellt.
>
> Hallo,
>
> leider gelingt es mir nicht, diese Abschätzung zu
> beweisen. Ich kann zeigen, dass gilt
>
> [mm]-2x^T A y(t) \le x^T A x + y(t)^T A y(t)[/mm],
>
> indem ich einfach das Produkt
>
> [mm]\pmat{x^TP & y^T} \pmat{P^-1 & I \\ I & P} \pmat{P^Tx\\y}\ge0[/mm]
>
> mit [mm]\pmat{P^{-1} & I \\ I & P}\ge 0[/mm] auswerte. Aber damit
> ist der erste Teil der zu beweisenden Ungleichung ja noch
> nicht gezeigt, und außerdem bleibt noch der zweite Teil zu
> beweisen. Hat da jemand eine Idee?
Was bedeutet denn $A>0$? Positiv definit? Wenn ja:
Die zweite Ungleichung ist ja im wesentlichen $ [mm] y(t)^T [/mm] A [mm] y(t)\le [/mm] 2 [mm] \parallel [/mm] A [mm] \parallel [/mm] ( [mm] k^2 \ctimes |t|^2)$, [/mm] das sollte recht einfach aus der Definition der Matrixnorm folgen.
Und für die erste Ungleichung würde ich
[mm](x+y(t))^TA(x+y(t)) [/mm]
anschauen. Wenn A positiv definit ist, ist dies ja immer [mm] $\ge [/mm] 0$.
Viele Grüße
Rainer
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