Ungleichung, Mittelwerte < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:20 Di 13.11.2007 | | Autor: | Mirtschi |
Hallo!
Ich habe folgende Aufgabe zu bearbeiten und leider keine Idee für einen Ansatz. Kann mir jemand weiterhelfen?
Es seien [mm] a_1,...,a_n [/mm] > 0 reelle Zahlen mit [mm] \produkt_{k=1}^n a_k. [/mm] Dann ist [mm] \summe_{k=1}^n a_k \ge [/mm] n. Das Gleichheitszeichen gilt dabei genau dann, wenn alle [mm] a_k [/mm] = 1 sind. Beweisen Sie diese Aussage und zeigen Sie mit ihrer Hilfe die Ungleichung zwischen harmonischem, arithmetischem und geometrischem Mittel:
Für alle n [mm] \in\IN [/mm] und alle [mm] a_k \in\IR [/mm] , [mm] a_k [/mm] > 0 gilt:
[mm] \bruch{n}{\bruch{1}{a_1} + ... + \bruch{1}{a_n}} \le \wurzel[n]{a_1*...*a_n} \le \bruch{a_1 + ... + a_n}{n}
[/mm]
Danke schonmal im Voraus!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:47 Di 13.11.2007 | | Autor: | froggie |
uns wurde der tipp gegeben , dass man es mit induktion machen kann... habs es selbst aber noch nicht ausprobiert...
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:51 Di 13.11.2007 | | Autor: | Mirtschi |
Mein Problem ist, dass ich noch nicht mal verstehe, was genau ich zeigen soll, bevor ich mit dessen Hilfe die Ungleichung beweise. Soll ich zeigen, dass die Summe gilt? Das ginge ja mit vollständiger Induktion. Oder muss ich zeigen, dass aus dem Produkt die Summe folgt?
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> Es seien [mm]a_1,...,a_n[/mm] > 0 reelle Zahlen mit [mm]\produkt_{k=1}^n a_k.[/mm]
> Dann ist [mm]\summe_{k=1}^n a_k \ge[/mm] n. Das Gleichheitszeichen
> gilt dabei genau dann, wenn alle [mm]a_k[/mm] = 1 sind. Beweisen Sie
> diese Aussage und zeigen Sie mit ihrer Hilfe die
> Ungleichung zwischen harmonischem, arithmetischem und
> geometrischem Mittel:
> Für alle n [mm]\in\IN[/mm] und alle [mm]a_k \in\IR[/mm] , [mm]a_k[/mm] > 0 gilt:
>
> [mm]\bruch{n}{\bruch{1}{a_1} + ... + \bruch{1}{a_n}} \le \wurzel[n]{a_1*...*a_n} \le \bruch{a_1 + ... + a_n}{n}[/mm]
Hallo,
wie schon in der Aufgabe geschreiben, geht es hier um die drei verschiedenen Mittelwerte und darum, wie sie "größenmäßig sortiert" sind.
Mach doch erstmal ein Beispiel mit 4 pos. reellen Zahlen, z.B. mit 1,2,3,4 und schau nach, ob die obige Aussage stimmt.
So etwas ist nie vertane Zeit.
Zu beweisen sind dann 2 Ungleichungen,
i) [mm] \bruch{n}{\bruch{1}{a_1} + ... + \bruch{1}{a_n}} \le \wurzel[n]{a_1*...*a_n}
[/mm]
und
ii) [mm] \wurzel[n]{a_1*...*a_n} \le \bruch{a_1 + ... + a_n}{n},
[/mm]
und es sieht ja, wie froggie Dir schon sagt, wirklich so aus, als sei hier ein Versuch mit Induktion lohnend.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:11 Mi 14.11.2007 | | Autor: | rezzana |
hallo!
wie kann man denn beweisen,dass aus [mm]\produkt_{k=1}^n a_k.[/mm] =1 folgt: [mm]\summe_{k=1}^n a_k \ge[/mm] n ?
mir wurde gesagt man müsse das zuerst beweisen-aber damit tue ich mir richtig schwer. kann mir jemand einen tipp geben,wie das funktioniert? ich hab echt keine ahnung und probier schon die ganze zeit die aufgabe zu lösen. die ungleichung an sich bereitet mir weniger probleme als dieser beweis.
viele grüße rezzana
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> hallo!
> wie kann man denn beweisen,dass aus [mm]\produkt_{k=1}^n a_k.[/mm]
> =1 folgt: [mm]\summe_{k=1}^n a_k \ge[/mm] n ?
> mir wurde gesagt man müsse das zuerst beweisen-
Hallo,
wenn das in der Übung so gesagt wird, ist meist etwas dran...
> aber damit
> tue ich mir richtig schwer.
Zeig doch mal, was Du bisher getan hast, um die Aussage zu beweisen - man macht das per Induktion.
Für den Induktionsanfang solltest Du Dir neben n=1 ruhig auch überlegen, warum das für n=2 auch gilt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:06 Do 15.11.2007 | | Autor: | rezzana |
> > hallo!
> > wie kann man denn beweisen,dass aus [mm]\produkt_{k=1}^n a_k.[/mm]
> > =1 folgt: [mm]\summe_{k=1}^n a_k \ge[/mm] n ?
> > mir wurde gesagt man müsse das zuerst beweisen-
>
> Hallo,
>
> wenn das in der Übung so gesagt wird, ist meist etwas
> dran...
>
> > aber damit
> > tue ich mir richtig schwer.
>
> Zeig doch mal, was Du bisher getan hast, um die Aussage zu
> beweisen - man macht das per Induktion.
>
>
> Gruß v. Angela
>
hallo!
also den induktionsanfang für n=1 bekomm ich zum glück hin. aber dann weiß ich nicht so recht weiter. muss ich beim induktionsschritt von n auf n+1 schließen?oder von n-1 auf n? ich habe schon beides versucht-aber ohne rechten erfolg.
> Für den Induktionsanfang solltest Du Dir neben n=1 ruhig
> auch überlegen, warum das für n=2 auch gilt.
zu n=2 ist mir nur eingefallen,dass z.b. (1/x)*(x)=1 ist.aber kann man damit was anfangen?ich hab wirklich keinen plan wie ich da weiterkommen soll.
viele grüße rezzana
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> also den induktionsanfang für n=1 bekomm ich zum glück
> hin. aber dann weiß ich nicht so recht weiter. muss ich
> beim induktionsschritt von n auf n+1 schließen?oder von n-1
> auf n? ich habe schon beides versucht-aber ohne rechten
> erfolg.
Hallo,
das kannst Du machen, wie Du willst. Am besten so, wie Du es immer machst.
> > Für den Induktionsanfang solltest Du Dir neben n=1 ruhig
> > auch überlegen, warum das für n=2 auch gilt.
> zu n=2 ist mir nur eingefallen,dass z.b. (1/x)*(x)=1
> ist.aber kann man damit was anfangen?
Doch, damit kann man etwas anfangen.
Wenn a*b=1 ist, gibt es zwei Möglichkeiten: entweder sind a,b beide 1, und wenn das nicht der Fall ist, ist a>1 und b<1. (Oder natürlich umgekehrt.)
Jetzt kannst Du (a-1)*(1-b) auswerten.
Gruß v. Angela
P.S.: Das Resultat, daß nämlich für x>0 gilt x+1/x [mm] \ge [/mm] 2 gilt, kann man in mancherlei Lebenslagen gebrauchen, völlig unabhängig v. der zu bearbeitenden Aufgabe.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:58 Mi 14.11.2007 | | Autor: | froggie |
Hab das jetzt mal versucht mit der induktion komme aber nich so wirklich voran... :(
Induktionsannahme hab ich kapiert, is ja nich so schwer [mm] Induktionsschritt:\bruch{n+1}{\bruch{1}{a_1} + ... + \bruch{1}{a_n+1}} \le [/mm]
muss man jetzt immer abschätzen? um weiter zu kommen? bestimmt, aber ich ich weiß einfach nicht wie, mir liegen die Induktionsbeweise mit Gleichheitszeichen einfach eher....
HAt jemand nen tipp?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:27 Do 15.11.2007 | | Autor: | Mirtschi |
Hallo!
Dass aus folgt dass [mm] \summe_{k=1}^{n} a_k \ge [/mm] n habe ich mittlerweile per vollständiger Induktion gezeigt.
Ich komme allerdings bei der Ungleichung nicht voran. Ich habe sie mal mit Summen- und Produktzeichen folgendermaßen umgeschrieben:
n * [mm] \summe_{k=1}^{n} a_k \le \wurzel[n]{\produkt_{k=1}^{n} a_k } \le \bruch{\summe_{k=1}^{n} a_k}{n}
[/mm]
Darf ich im Beweis der Ungleichung voraussetzen, dass [mm] \produkt_{k=1}^{n} a_k [/mm] = 1 ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:12 Do 15.11.2007 | | Autor: | froggie |
>
> n * [mm][mm] \summe_{k=1}^{n} a_k [/mm]
ich glaub, dass hast hier falsch... aufgeschrieben
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> Ich komme allerdings bei der Ungleichung nicht voran. Ich
> habe sie mal mit Summen- und Produktzeichen folgendermaßen
> umgeschrieben:
>
> n * [mm]\summe_{k=1}^{n} a_k \le \wurzel[n]{\produkt_{k=1}^{n} a_k } \le \bruch{\summe_{k=1}^{n} a_k}{n}[/mm]
>
> Darf ich im Beweis der Ungleichung
Hallo,
ich befürchte, daß Du beim Beweis der obigen Ungleichung fürchterliche Probleme bekommen wirst.
Du solltest nochmal in Dich gehen und überlegen, ob Du wirklich das zeigen möchtest, was da steht.
> voraussetzen, dass
> [mm]\produkt_{k=1}^{n} a_k[/mm] = 1 ?
Nein, einfach voraussetzen darfst Du das natürlich nicht, denn es steht ja nichts davon in den Voraussetzungen, daß das gelten soll. Du darfst es an geeigneter Stelle verwenden, und Du darfst darauf hinarbeiten, daß Du es verwenden kannst.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:31 Do 15.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo froggie
Mit dem was du da schreibst weiss ich nichtmal was du gerade beweisen willst. Hast du denn den ersten Teil gezeigt, den mit Produkt=1 Summe [mm] \ge [/mm] n?
Den brauchst du im weiteren Verlauf.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:18 Do 15.11.2007 | | Autor: | froggie |
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> i) [mm]\bruch{n}{\bruch{1}{a_1} + ... + \bruch{1}{a_n}} \le \wurzel[n]{a_1*...*a_n}[/mm]
>
daruas folgt ja
[mm] n=\bruch{1}{a_1} [/mm] + ... + [mm] \bruch{1}{a_n}
[/mm]
kann man [mm] \bruch{1}{a_1} [/mm] + ... + [mm] \bruch{1}{a_n} [/mm] noch irgendwie umformen? ... ich hatte mal überlegt, die gleichung [mm] n=\bruch{1}{a_1} [/mm] + ... + [mm] \bruch{1}{a_n} [/mm] mit [mm] \produkt_{i=1}^{n} a_{i}=1 [/mm] zu ,multiplizieren bin damit aber acuh nich wirklich wietergekommen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:26 Do 15.11.2007 | | Autor: | froggie |
hab das mal aufgeschrieben, was rauskommen würde wenn ich mit dem Produkt multipliziere:
n [mm] \le a_{2}*a_{3}*...*a_{n}+a_{1}*a_{3}*...*a_{n}+a_{1}*a_{2}*...*a_{n-1}
[/mm]
Die Summanden sind ja alle jeweils kleiner als eins, weil sozusagen ein Faktor fehlt( im ersten summanden wäre es [mm] a_{1}, [/mm] im zweiten Summanden [mm] a_{2}, [/mm] usw....)
Sagen wir jetzt mal n wäre 2000, dann hätte ich 2000 summanden, die jeweils etwas kleiner wären als 2000, sagen wir mal die summe von allen summanden wäre1800. Dann stimmt die Ungleichung doch nicht mehr.... 2000 [mm] \ge [/mm] 1800 und nicht 2000 [mm] \le [/mm] 1800
erkennt jm wo mein denkfehler steckt?
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> hab das mal aufgeschrieben, was rauskommen würde wenn ich
> mit dem Produkt multipliziere:
>
> n [mm]\le a_{2}*a_{3}*...*a_{n}+a_{1}*a_{3}*...*a_{n}+a_{1}*a_{2}*...*a_{n-1}[/mm]
>
> Die Summanden sind ja alle jeweils kleiner als eins, weil
> sozusagen ein Faktor fehlt
Hallo,
dem kann ich nicht ohne weiteres folgen - mal abgesehen, davon, daß Du für die Bearbeitung Deiner Aufgabe nicht einfach voraussetzen darfst, daß [mm] \produkt_{i=1}^{n}a_i [/mm] =1 ist.
Es könnte doch auch sein - und muß so sein - daß ein Teil der wegfallenden Faktoren <1 ist, und dadurch vergrößert sich das Produkt aus n-1 Faktoren ja gegenüber [mm] \produkt_{i=1}^{n}a_i [/mm] .
Gruß v. Angela
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> >
> > i) [mm]\bruch{n}{\bruch{1}{a_1} + ... + \bruch{1}{a_n}} \le \wurzel[n]{a_1*...*a_n}[/mm]
>
> >
>
> daruas folgt ja
>
> [mm]n=\bruch{1}{a_1}[/mm] + ... + [mm]\bruch{1}{a_n}[/mm]
Hallo,
Du darfst nicht einfach voraussetzen, daß [mm] a_1*...*a_n [/mm] =1 ist, und hier bringt Dir das auch nichts.
Zeigen willst Du:
[mm] n\le \wurzel[n]{a_1*...*a_n}(\bruch{1}{a_1}+ [/mm] ... + [mm] \bruch{1}{a_n})=\bruch{\wurzel[n]{a_1*...*a_n}}{a_1}+ [/mm] ... + [mm] \bruch{\wurzel[n]{a_1*...*a_n}}{a_n}.
[/mm]
Nun guck Dir doch hier mal Deine Summanden [mm] b_i:=\bruch{\wurzel[n]{a_1*...*a_n}}{a_i} [/mm] an.
Du könntest sie ja auch mal probehalber miteinander multiplizieren...
Gruß v. Angela
>
> kann man [mm]\bruch{1}{a_1}[/mm] + ... + [mm]\bruch{1}{a_n}[/mm] noch
> irgendwie umformen? ... ich hatte mal überlegt, die
> gleichung [mm]n=\bruch{1}{a_1}[/mm] + ... + [mm]\bruch{1}{a_n}[/mm] mit
> [mm]\produkt_{i=1}^{n} a_{i}=1[/mm] zu ,multiplizieren bin damit
> aber acuh nich wirklich wietergekommen
>
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