Ungleichung / Permutationen < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:30 Di 12.11.2013 | | Autor: | kai1992 |
| Aufgabe | | Seien [mm] 0 \le a_1 \le a_2 \le ... \le a_n [/mm] und [mm] 0 \le b_1 \le b_2 \le ... \le b_n [/mm] jeweils reelle Zahlen. Zeigen Sie, dass dann [mm] f: {1,2,...,9} \to {1,2,...,9} [/mm] eine Permutation der Zahlen von 1 bis n. Nun gilt [mm] a_1b_n + a_2b_{n-1} + ... + a_nb_1 \le a_1b_{f(1)} + a_2b_{f(2)} + ... + a_nb_{f(n)} \le a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n [/mm] gilt. Beweisen Sie dann, dass [mm] \bruch{1}{n} * \summe_{k=1}^{n} a_kb_k \le (\bruch{1}{n} * \summe_{k=1}^{n} a_k) * (\bruch{1}{n} * \summe_{k=1}^{n} b_k) [/mm]. |
Zu der zweiten kniffligen Aufgabe haben wir den ersten Teil mit der Permutation bereits bewiesen und vermuten, dass man ihn im zweiten Teil für die Ungleichung braucht. Wir gehen auch davon aus, dass das mit Induktion geht und haben schon hin und her probiert, aber entweder können wir die Induktionsvorassetzung nicht einbringen, da ein (1/n) stört oder können nach deren Eibringen nicht mehr mithilfe der Permutationen abschätzen. Auch hier wären wir über weiterführende Hilfen dankbar. Den Anfang der Induktion haben wir natürlich hinbekommen, nur der Schritt gelingt nicht ganz. Danke!
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.gute-mathe-fragen.de/
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Hiho,
vorweg: ich vermute mal, es sollte heißen: [mm] $f:\{1,2,\ldots,n\} \to \{1,2,\ldots,n\}$
[/mm]
1.) Multipliziere erst beide Seiten mit [mm] n^2.
[/mm]
2.) Verwende n Permutationen, so dass an jeder Stelle jeder Wert einmal angekommen wird.
Also du hast: [mm] $f_1,\ldots f_n$ [/mm] und zwar so, dass gilt:
[mm] $\forall k\in \{1,2,\ldots,n\}\;\forall [/mm] j [mm] \in \{1,2,\ldots,n\}\;\exists i\in \{1,2,\ldots,n\}: f_i(k) [/mm] = j$
Begründe, warum du solche Permutationen finden kannst.
3.) Wende für jede der n Summen auf der linken Seite eine Abschätzung mit einem [mm] f_i [/mm] an
4.) Klammere geeignet aus, fasse zusammen.
Gruß,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:00 Di 19.11.2013 | | Autor: | kai1992 |
So hats's funktioniert! :) danke
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