Ungleichung Rang < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei A [mm] \in [/mm] Hom(U,V) und B [mm] \in [/mm] Hom(V,W), rgA < [mm] \infty [/mm] , rgB < [mm] \infty. [/mm] Zeigen Sie:
rg(B [mm] \circ [/mm] A) [mm] \leq min\{ rgA, rgB \}. [/mm] |
Hallo mal wieder.
Diese Aufgabe bereitet mir einige Schwierigkeiten. Ich muss im Endeffekt ja zeigen, dass:
rg(B [mm] \circ [/mm] A) [mm] \leq [/mm] rg(B) und rg(B [mm] \circ [/mm] A) [mm] \leq [/mm] rg(A).
Das eine wäre doch "schnell" erledigt, da A unter B abgebildet wird, also ist klar Bild(B [mm] \circ [/mm] A) [mm] \leq [/mm] Bild(B), und somit rg(B [mm] \circ [/mm] A) [mm] \leq [/mm] rg(B).
Ich habe hier ja die "Verknüpfung", als B [mm] \circ [/mm] A. Ich weiß nicht, ob man hier mit dieser Dimensionsformel arbeiten kann, weil weiß ja nur, dass das Bild von A und B endlichdimensional ist...
Oder muss ich hier irgendwie damit arbeiten:
V [mm] \cong [/mm] Kern(B [mm] \circ [/mm] A) x Bild(B [mm] \circ [/mm] A), die Formel hab ich in unmittelbarer Nähe im Skript gefunden...
Ich würde mich über Hilfe freuen,
liebe Grüße!
|
|
| |
|
> Ich habe hier ja die "Verknüpfung", als B [mm]\circ[/mm] A. Ich weiß
> nicht, ob man hier mit dieser Dimensionsformel arbeiten
> kann, weil weiß ja nur, dass das Bild von A und B
> endlichdimensional ist...
Hallo,
was meinst Du mit "dieser Dimensionsformel"?
Ich würde verwenden (oder zuerst zeigen), daß für jede Lineare Abbildung [mm] f:M\to [/mm] N dim [mm] bildf\le [/mm] dim M ist, denn das benötigt man.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hallo Angela...
ja ich denke die Ungleichung dürfen wir verwenden...
Es ist ja rg(A) = dim Bild(A), A ist aus Hom(U,V), also eine lineare Abbildung A : U -> V, irgendwie ist mir "einleuchtend", dass dann :
rg(A) = dimBild(A) [mm] \leq [/mm] dimU sein muss, da Bild(A) [mm] \subseteq [/mm] U.
Ich seh jetzt nicht ganz, wo das anzuwenden ist.
Es ist A [mm] \in [/mm] Hom(U,V), B [mm] \in [/mm] Hom(V,W), d.h. B [mm] \circ [/mm] A [mm] \in [/mm] Hom(U,W).
Mit dieser Ungleichung würde doch jetzt folgen:
rg(B [mm] \circ [/mm] A) = dim Bild(B [mm] \circ [/mm] A) [mm] \leq [/mm] dim U
Jetzt bin ich aber noch nicht schlauer, oder?
Grüße und dank!
P.S. mit der Dimensionformel meinte ich für A [mm] \in [/mm] Hom(U,V):
dimU = dimKernA + dimBildA, wobei eben zwei der Dinge endliche Dimension haben müssen, das ist hier aber nicht gegeben.
|
|
|
| |
|
> rg(A) = dimBild(A) [mm]\leq[/mm] dimU sein muss, da Bild(A)
> [mm]\subseteq[/mm] U.
>
> Ich seh jetzt nicht ganz, wo das anzuwenden ist.
>
> Es ist A [mm]\in[/mm] Hom(U,V), B [mm]\in[/mm] Hom(V,W), d.h. B [mm]\circ[/mm] A [mm]\in[/mm]
> Hom(U,W).
>
> Mit dieser Ungleichung würde doch jetzt folgen:
>
> rg(B [mm]\circ[/mm] A) = dim Bild(B [mm]\circ[/mm] A) [mm]\leq[/mm] dim U
>
> Jetzt bin ich aber noch nicht schlauer, oder?
Nein, so nicht.
Aber
wenn wir uns für rg [mm] B\circ [/mm] A interessieren, interessieren wir uns ja für die Dimension von
[mm] Bild(B\circ A)=(B\circ [/mm] A)(U)=B(A(U)).
Dieses A(U), welches eine Teilmenge von V ist, mußt Du ausschlachten.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hallo,
ich probier das mal...ich bin aber nicht so gut im "ausschlachten" :-/
Also A [mm] \in [/mm] Hom(U,V), B [mm] \in [/mm] Hom(V,W).
Ich betrachte jetzt B [mm] \circ [/mm] A [mm] \in [/mm] Hom(U,W) und möchte dimBild(B [mm] \circ [/mm] A) in Erfahrung bringen.
Dabei ist Bild(B [mm] \circ [/mm] A) = B [mm] \circ [/mm] A(U) = B(A(U)), d.h. Bild(B [mm] \circ [/mm] A) [mm] \subseteq [/mm] U, d.h. auch dimBild(B [mm] \circ [/mm] A) [mm] \leq [/mm] dimU.
A(U) [mm] \subseteq [/mm] V, da A [mm] \in [/mm] Hom(U,V), d.h. auch dim(A(U)) [mm] \leq [/mm] dim(V).
Vom deinem ersten Hinweis weiß ich:
Da für jede lineare Abbildung gilt: B: V -> W, dimBildB [mm] \leq [/mm] dimV.
Also auch A: U -> V, dimBildA [mm] \leq [/mm] dimU
Hier ist jedoch B [mm] \circ [/mm] A, also B: A(V) -> W, da gilt doch dann das was du in deinem ersten Hinweis gesagt hast:
dimBild(B [mm] \circ [/mm] A) [mm] \leq [/mm] dimA(V)
Aber ich glaub ich hab mich da in was verannt...ich dachte ich kann da jetzt etwas anderes "einsetzen" und hab dann das ergebnis dastehen...aber so scheint es nicht zu gehen :-(
Grüße und dank für die Hilfe!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:21 Sa 19.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
