Ungleichung beweisen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:16 Di 20.06.2006 | | Autor: | PixCell |
| Aufgabe | | [mm] n!\le ((n+1)/2)^{n} [/mm] |
Hallo zusammen!
Wer kann mir beim Beweis folgender Ungleichung [mm] n!\le ((n+1)/2)^{n} [/mm] weiterhelfen?
Ich schätze, dass man da irgendwas mit der Bernoullischen Ungleichung machen kann. Aber was nur?
Für Eure Hilfe wäre ich echt dankbar!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:27 Di 20.06.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo.
Versuch es doch mal mit der Ungleichung zwischen dem arithmetischen und geometrischen Mittel:
[mm] $\sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n} a_i}\leq\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a_i$.
[/mm]
Das führt hier direkt zum Ziel.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:23 Mi 21.06.2006 | | Autor: | PixCell |
Hallo Hanno!
Erst mal Danke für deine Mühe.
In der Übung haben wir auch mit dem arithmetischen und geometrischen Mittel gearbeitet, aber um ehrlich zu sein verstehe ich die Anwendung in diesem Fall nicht. Könntest du mir vielleicht noch ein wenig auf die Sprünge helfen?
Hast du auf der einen Seit die n-te Wurzel gezogen; auf der anderne Seite durch n dividiert und dann das Zeichen umgekehrt?
Und wie genau bekomme ich hier meine Ungleichung unter?
LG PixCell
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Du mußt nur in der von Hanno angegebenen Formel spezialisieren:
[mm]a_1 = 1 , \ a_2 = 2 , \ a_3 = 3 , \ \ldots , \ a_n = n[/mm]
Dann die bekannte Formel für [mm]1+2+3+\ldots+n[/mm] verwenden. Und ganz zum Schluß muß die [mm]n[/mm]-te Wurzel noch weg.
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