Ungleichung beweisen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Für 0<x<1 und n [mm] \in \IN [/mm] gilt [mm] (1-x)^n<1/(1+nx) [/mm] |
Hallo!
Meine Überlegungen zur o.g. Aufgabe:
IA: Für n=1 gilt die Aussage offensichtlich:
[mm] (1-x)^1<1/(1+x) [/mm]
[mm] \gdw [/mm] (1-x)(1+x)<1
[mm] \gdw 1-x^2<1
[/mm]
[mm] \gdw 0
[mm] \Box
[/mm]
Aber wie sieht der Induktionsschluss aus? Bei einer Gleichung hätte ich wahrscheinlich keine Probleme, aber hier handelt es sich ja um eine Ungleichung.
Danke.
Gruß
Alex
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Gruß!
Naja, einfach durchrechnen, ganz brutal... 
Zu zeigen ist: [mm] $(1-x)^{n+1} [/mm] < [mm] \frac{1}{1 + nx + x}$
[/mm]
Nach Induktionsvoraussetzung gilt [mm] $(1-x)^n [/mm] < [mm] \frac{1}{1+nx}$, [/mm] also folgt durch einsetzen:
[mm] $(1-x)^{n+1} [/mm] < [mm] \frac{1-x}{1+nx}$.
[/mm]
Zu zeigen ist also: [mm] $\frac{1-x}{1+nx} [/mm] < [mm] \frac{1}{1 + nx + x}$
[/mm]
Da beide Nenner positiv sind, kann man mit ihnen multiplizieren und die obige Ungleichung ist äquivalent zu
$(1-x)(1+nx+x) < 1+nx$
[mm] $\Leftrightarrow [/mm] 1+nx+x -x [mm] -nx^2 -x^2 [/mm] < 1+nx$
[mm] $\Leftrightarrow -x^2(n+1) [/mm] < 0$
Und das ist mit Sicherheit wahr.
Alles klar?
Lars
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Ok, Vielen Dank.
Alles klar. :)
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