Ungleichung beweisen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich sitze vor folgender Aufgabe …
[mm]| sin x - sin y | \le | x - y |[/mm] [mm](x, y \in \IR)[/mm]
… und habe keinen blassen Schimmer, wie ich da rangehen muss.
Kann mir jemand einen Tipp geben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:00 Do 28.09.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo DrRobotnik!
> ich sitze vor folgender Aufgabe …
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> [mm]| sin x - sin y | \le | x - y |[/mm] [mm](x, y \in \IR)[/mm]
>
> … und habe keinen blassen Schimmer, wie ich da
> rangehen muss.
>
> Kann mir jemand einen Tipp geben?
Schau dir mal den Mittelwertsatz der Differentialrechnung an.
LG Felix
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Hallo Felix,
> Schau dir mal den Mittelwertsatz der Differentialrechnung
> an.
Hmm, also wirklich weiter hilft mir Dein Tipp nicht. Der Mittelwertsatz lautet ja:
[mm]f'(x_0) = \bruch{f(b) - f(a)}{b - a}[/mm]
In welcher Hinsicht hat dieser Satz jetzt etwas mit der Aufgabe zu tun? (Sorry, aber ich erkenne da nix.)
VG
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Wenn du Lipschitzstetigkeit schon hattest, geht das recht fix.
Wenn eine Funktion Lipschitzstetig ist, muss gelten:
[mm]|f(x) - f(y)| \le L|x-y| [/mm] mit [mm]L = sup[|f'(x)|, x \in \IR][/mm]
Hier gilt also: [mm]f(x) = sinx[/mm]
[mm]\Rightarrow f'(x) = cosx [/mm]
[mm]\Rightarrow L := sup[|cos(x)|, x \in \IR] = 1[/mm]
[mm]\Rightarrow |sinx - siny| \le 1*|x-y|[/mm]
Gruß,
Gono.
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(Dass mit dem "fehlerhaft" ist natürlich Quark, hatte mich verklickt, sorry.)
Eine Aufgabe dieses Typs kommt mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit in meiner Klausur vor, weshalb ich gerne wissen möchte, ob folgende Lösung dann richtig wäre (Klausuraufgabe):
Zu zeigen: [mm]|x - sinx| \le \bruch{x^2}{2}[/mm] [mm]x \in \IR[/mm]
[mm]f(x) = x[/mm]
[mm]f'(x) = 1[/mm]
[mm]L := sup[|1|, x \in \IR] = 1[/mm]
Woraus folgt: [mm] |x - sinx| \le 1 \cdot \bruch{x^2}{2}[/mm]
Richtig? (Kann mir ehrlich gesagt nicht vorstellen, dass das hinhaut)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:27 Fr 29.09.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> (Dass mit dem "fehlerhaft" ist natürlich Quark, hatte mich
> verklickt, sorry.)
>
> Eine Aufgabe dieses Typs kommt mit an Sicherheit grenzender
> Wahrscheinlichkeit in meiner Klausur vor, weshalb ich gerne
> wissen möchte, ob folgende Lösung dann richtig wäre
> (Klausuraufgabe):
>
> Zu zeigen: [mm]|x - sinx| \le \bruch{x^2}{2}[/mm] [mm]x \in \IR[/mm]
>
> [mm]f(x) = x[/mm]
> [mm]f'(x) = 1[/mm]
>
> [mm]L := sup[|1|, x \in \IR] = 1[/mm]
>
> Woraus folgt: [mm]|x - sinx| \le 1 \cdot \bruch{x^2}{2}[/mm]
Warum sollte das folgen? Daraus folgt nur $|f(x) - f(y)| [mm] \le [/mm] 1 [mm] \cdot [/mm] |x - y|$, was aber sowieso klar ist (wenn man mal $f$ einsetzt).
Diese Aufgabe hat nichts mit der anderen zu tun. Du brauchst hier die Taylor-Entwicklung vom Sinus: Schau dir doch mal die Entwicklung von Grad 1 an. Schau dir insbesondere das Restglied an.
LG Felix
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Hallo Felix,
> Du brauchst hier die Taylor-Entwicklung vom Sinus: Schau dir
> doch mal die Entwicklung von Grad 1 an. Schau dir
> insbesondere das Restglied an.
Gibt es keine Möglichkeit, um Taylor herum zu kommen? Hier wurde ein direkter Lösungsweg empfohlen, was aber wohl nicht auf meine Aufgabe angewandt werden kann, da [mm]x \in \IR[/mm] und nicht [mm]x \ge \IR[/mm].
VG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:58 So 01.10.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo DrRobotnik!
> > Du brauchst hier die Taylor-Entwicklung vom Sinus: Schau
> dir
> > doch mal die Entwicklung von Grad 1 an. Schau dir
> > insbesondere das Restglied an.
>
> Gibt es keine Möglichkeit, um Taylor herum zu kommen?
Warum? Mit Taylor ist das ein Zweizeiler.
> Hier wurde ein direkter
> Lösungsweg empfohlen, was aber wohl nicht auf meine Aufgabe
> angewandt werden kann, da [mm]x \in \IR[/mm] und nicht [mm]x \ge \IR[/mm].
Da war ein anderer Loesungsweg wohl auch angebracht, das es mit Taylor nicht direkt ging. Hier aber bist du nach einmal Taylor anwenden fast sofort fertig.
LG Felix
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Hallo Felix,
> Warum? Mit Taylor ist das ein Zweizeiler.
Tja, das ist ja mein Problem.  Im Script wird Taylor zwar erwähnt, aber Aufgaben gab's dazu nicht. Und in meinen Mathebüchern werden ähnliche Beispielaufgaben auch nicht aufgeführt. Ich habe zwar den Theorie vor mir liegen, aber überhaupt keine Ahnung, wie ich das anwenden kann.
Wäre wirklich nett, wenn mir das jemand an dieser oder einer anderen, ähnlichen Aufgabe erklären könnte. 
VG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:52 So 01.10.2006 | | Autor: | Brinki |
Tipp 1:
x und y sind doch zwei Bogenlängen (falls <0 sind sie halt negativ). In der angefügten Skizze ist x grün.
sin x und sin y sind y-Koordinaten der Punkte auf dem Einheitskreis, die durch die Bögen x bzw. y eindeutig vorgegeben sind. (In der Skizze der Punkt im Kreis bei dem schwarz, blau und grün zusammentreffen.)
Tipp 2:
Betrachte die Betragsfunktion als Abstandsfunktion. Dann hast du einmal den Abstand der (ausgerollten) Bogenlängen und im anderen Fall den Abstand der y-Werte der oben beschriebenene Punkte.
Letztendlich interessant sind nur die x-y-Paare, deren Differenz betragsmäßig kleiner als 2 ist, sonst ist die Ungleichung klar.
Tipp 3:
Die Bögen kann man nach unten auch durch die entsprechende Kreissehne abschätzen. Dann läuft, denke ich , die Arbeit auf den Einsatz der Dreiecksungleichung hinaus.
Hier bleibt für dich noch etwas Arbeit. Vielleicht konnte ich helfen.
Grüße
Brinki
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:58 So 01.10.2006 | | Autor: | ullim |
> Hallo Felix,
>
> vielen Dank erst einmal für Deine Antwort, welche ich
> leider (fast) nicht verstanden habe.
>
> > Da [mm]\sin x[/mm] zweimal stetig diffbar ist, gibt es zu jedem [mm]x[/mm]
> > ein [mm]\delta[/mm] zwischen [mm]0[/mm] und [mm]x[/mm] mit [mm]\sin x = \sin 0 + (\sin' 0) x + \frac{\sin'' \delta}{2} x^2[/mm]
> > (hier ist der Entwicklungspunkt 0).
>
> Warum muss [mm]sin x[/mm] zweimal stetig diffbar sein? (D.h., warum
> wähle ich n = 2?)
Die Sinus Funktion muss nicht zweimal stetig differenzierbar sein, sondern sie ist unendlich oft differenzierbar. Diese Eigenschaft wird von Felix ausgenutzt um die Taylorreihe überhaupt entwickeln zu können. Da Du eine Abschätzung suchst, die [mm] x^2 [/mm] enthält, bietet sich doch an, die Taylorreihe so zu entwickeln, dass ein quadratisches Restglied bleibt.
> Wieso ist Dein [mm]x_0[/mm] gleich 0? Wonach suche ich denn [mm]x_0[/mm]?
[mm] x_0 [/mm] wird deshalb 0 gewählt, weil sonst die Taylorreihe Glieder mit [mm] (x-x_0) [/mm] und [mm] x_0\ne [/mm] 0 enthalten würde, z.B (x-1) was bei der gesuchten Abschätzung aber nicht der Fall ist.
> Vielleicht hast Du ja kurz die Zeit, mir das so zu
> erklären, als wäre ich 6 Jahre alt.
>
> VG
>
> Edit: Ist [mm]x_0[/mm] = 0, weil sinx zwischen -1 und 1 liegt und f
> zwischen [mm](x_0-\delta, x_0+\delta)[/mm] liegen muss?
>
Nein, damit hat es nichts zu tunn, siehe oben.
mfg ullim
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Sorry, aber diese Aufgabe lässt mich nicht los. (Z.Z.: [mm]|x - sinx| \le \bruch{x^2}{2} \quad x \in \IR[/mm] )
Für Taylor gilt: [mm]f(x) = \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{f^{(k)}(x_0)}{k!} \cdot (x - x_0)^k[/mm]
Demnach komme ich für [mm]n = 2[/mm] und [mm]x_0 = 0[/mm] auf folgendes:
[mm]sinx = \bruch{sin(0)}{1} + \bruch{cos(0)}{1} \cdot x + \bruch{-sin(0)}{2} \cdot x^2[/mm]
Macht: [mm]sinx = x \quad[/mm](für n = 2)
Entweder, ist hier irgendwo ein Fehler drin, oder ich verstehe einfach nicht, wie Ihr auf [mm]\bruch{x^2}{2}[/mm] kommt.
Es wäre wirklich nett, wenn mir das noch mal jemand kurz erklären könnte.
MERCI!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:43 Mi 04.10.2006 | | Autor: | ullim |
Hi DrRobotik,
wenn Du die Taylorreihe bis zur ersten Ordnung entwickelst, dann bleibt für den Rest der Reihe ein Restglied in der Form übrig, wie beschrieben. Das Restglied wird allerdings nicht um 0 sondern um einen Wert aus dem Intervall [0, x] berechnet. Also zu
[mm] \frac{\sin'' \delta}{2} x^2
[/mm]
[mm] \delta \in [/mm] [0,x]
Dieses Restglied ist dann kleiner oder gleich [mm] \bruch{x^2}{2}.
[/mm]
Falls [mm] \delta=0 [/mm] gelten sollte wie von Dir angegeben, ist das Restglied übrigens auch [mm] \le \bruch{x^2}{2}
[/mm]
mfg ullim
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Hallo,
aaaalso, ich hätte da noch eine Frage zum [mm]\delta[/mm]: Hat Felix das [mm]\delta[/mm] so gewählt, dass [mm]sin'' \delta = -sin \delta[/mm] gleich 1 ergibt, so dass wir [mm]\bruch{x^2}{2}[/mm] erhalten?
Und ist die Restgliedberechnung in diesem Fall überhaupt nötig?
Danke schon einmal.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:13 Do 05.10.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo DrRobotnik!
> aaaalso, ich hätte da noch eine Frage zum [mm]\delta[/mm]: Hat Felix
> das [mm]\delta[/mm] so gewählt, dass [mm]sin'' \delta = -sin \delta[/mm]
> gleich 1 ergibt, so dass wir [mm]\bruch{x^2}{2}[/mm] erhalten?
Nee, waehlen kann man da naemlich nicht viel. Ich hab ausgenutzt, dass [mm] $\sin'' [/mm] = [mm] -\sin$ [/mm] ist und das der Sinus immer hoechstens Betrag 1 hat. Damit kann man [mm] $|\sin'' \delta|$ [/mm] fuer jedes beliebige [mm] $\delta$ [/mm] durch 1 nach oben abschaetzen.
> Und ist die Restgliedberechnung in diesem Fall überhaupt
> nötig?
Ja, weil du ansonsten noch ganz viele andere Reihenglieder hast mit denen du (erstmal) nix anfangen kannst.
Uebrigens: Die Funktion ist im Allgemeinen nicht gleich ihrer Taylorreihe. Das gilt nur bei ganz speziellen Funktionen. Fuer [mm] $\sin$, $\cos$ [/mm] und [mm] $\exp$ [/mm] gilt es aber immer. Und mit der Restgliedformel kann man die Funktion auch hinschreiben, solange sie oft genug stetig differenzierbar ist.
LG Felix
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