Ungleichung beweisen < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:40 Mi 18.07.2007 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | | Man zeige: Für jede natürliche Zahl [mm] n\ge [/mm] 4 gilt [mm] \frac{n!}{n^n}<\frac{2}{n^2} [/mm] |
Ich habe mir überlegt das ganze mit Induktion zu beweisen:
n=4:
[mm] \frac{4!}{4^4}=\frac{24}{256}=\frac{3}{32}<\frac{4}{32}=\frac{2}{16}=\frac{2}{4^2}
[/mm]
[mm] n\to(n+1):
[/mm]
[mm] \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}=\frac{n!*(n+1)}{(n+1)^n*(n+1)}=\frac{n!}{(n+1)^n}=???
[/mm]
Wie mach ich jetzt weiter um [mm] \frac{n!}{n^n} [/mm] zu erhalten so dass ich meine Annahme einsetzen kann?
Gruß Zerwas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:02 Mi 18.07.2007 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Man zeige: Für jede natürliche Zahl [mm]n\ge[/mm] 4 gilt
> [mm]\frac{n!}{n^n}<\frac{2}{n^2}[/mm]
> Ich habe mir überlegt das ganze mit Induktion zu
> beweisen:
> n=4:
>
> [mm]\frac{4!}{4^4}=\frac{24}{256}=\frac{3}{32}<\frac{4}{32}=\frac{2}{16}=\frac{2}{4^2}[/mm]
>
> [mm]n\to(n+1):[/mm]
>
> [mm]\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}=\frac{n!*(n+1)}{(n+1)^n*(n+1)}=\frac{n!}{(n+1)^n}=???[/mm]
>
> Wie mach ich jetzt weiter um [mm]\frac{n!}{n^n}[/mm] zu erhalten so
> dass ich meine Annahme einsetzen kann?
Muß es denn Induktion sein? Man sieht es doch direkt mit bloßem Auge:
Umgeformt lautet die Ungleichung
n! < [mm] 2n^{n-2}
[/mm]
Wenn ich links die 1 und die 2 weglasse, stehen da n-2 Faktoren von 3 bis n. Wenn ich rechts die 2 weglasse, stehen da n-2 Faktoren n. Und damit ist rechts größer als links, wenn n größer als 3 ist.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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> [mm]\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}=\frac{n!*(n+1)}{(n+1)^n*(n+1)}=\frac{n!}{(n+1)^n}=???[/mm]
>
> Wie mach ich jetzt weiter um [mm]\frac{n!}{n^n}[/mm] zu erhalten so
> dass ich meine Annahme einsetzen kann?
...und wenn's unbedingt Induktion sein soll:
[mm] ...\frac{n!n^n}{n^n(n+1)^n}<\frac{2n^n}{n^2(n+1)^n}=\frac{2n^n}{(n+1)^2(n+1)^{n-2}n^2}=...
[/mm]
Gruß v. Angela
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