Ungleichung beweisen < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:04 Do 11.10.2007 | | Autor: | Ines27 |
| Aufgabe | a) [mm] 3^{n} \le [/mm] 4n! für n [mm] \ge [/mm] 4
b) [mm] 3^{n} \ge n^{2} [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 1 |
Ich muss bis heute abend die obigen Ungleichungen lösen. Unser Hr. Professor hat sich aber leider keine Mühe gebeben uns diese zu erklären, geschweige denn genauer zu erläutern, um was es hier eigentlich geht. Wir sollen sie halt einfach beweisen ... was immer das auch heißt. Soll ich beweisen, dass sie ungleich sind, oder wie? Wahrscheinlich muss ich sie mit der vollständigen Induktion beweisen, denke ich.
Außerdem weiß ich nicht genau, wie ich mit dem n! rechnen kann, wenn ich etwas dafür einsetze. Wie zum Beispiel bei der Induktionsbasis. Da setze ich ja zuerst n=1 ein. Wie ich das jetzt mit n! ausrechne, weiß ich leider auch nicht.
Ich hoffe jemand von euch erbarmt sich meiner! :)
Vielen Dank, glg Ines
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:29 Do 11.10.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
in deinem Beitrag ist schon das Stichwort Induktion gefallen.
Genau damit würde ich an diese beiden Aufgaben rangehen.
Fangen wir doch mal an mit der a) [mm] 3^{n}\le{4n!} [/mm] für [mm] n\ge4
[/mm]
Induktionsanfang mit n=4 (da die Ungleichung für [mm] n\ge4 [/mm] gilt):
linke Seite [mm] 3^4=3*3*3*3=81
[/mm]
rechte Seite [mm] 4\cdot{}(4)!=4*(4*3*2*1)=96
[/mm]
Damit gilt [mm] 81=3^n\le4n!=96 [/mm] für n=4
Induktionsvoraussetzung
$ [mm] 3^{n}\le{4n!} [/mm] $ für $ [mm] n\ge4 [/mm] $
Induktionsschritt [mm] n\to{n+1}
[/mm]
Induktionsvoraussetzung gelte, zu zeigen [mm] n\to{n+1} [/mm] gilt:
[mm] 3^{n+1}=\red{3^n*3}\le\blue{{4n!*(n+1)}}=4(n+1)!
[/mm]
Nach IV gilt [mm] \red{3^n}\le{\blue{4n!}} [/mm] für [mm] n\ge{4}
[/mm]
für [mm] n\ge{4} [/mm] gilt [mm] \red{3}\le\blue{{n+1}}
[/mm]
Insgesamt gilt demnach: [mm] \red{3^n*3}\le\blue{{4n!*(n+1)}} [/mm] für [mm] n\ge4
[/mm]
MfG barsch
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