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Ungleichung beweisen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:15 Mo 30.03.2009
Autor: Blueplanet

Aufgabe
Beweisen Sie folgende Ungleichung für alle 0<m<n

[mm] \bruch{n-m}{n} [/mm] < ln [mm] \bruch{n}{m} [/mm] < [mm] \bruch{n-m}{m} [/mm]

Ich vermute starkt dass hier der Mittelwertsatz angewendet werden kann und soll, kriege das aber nicht hin.



        
Bezug
Ungleichung beweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:48 Mo 30.03.2009
Autor: Marcel

Hallo,

> Beweisen Sie folgende Ungleichung für alle 0<m<n
>  
> [mm]\bruch{n-m}{n}[/mm] < ln [mm]\bruch{n}{m}[/mm] < [mm]\bruch{n-m}{m}[/mm]
>  Ich vermute starkt dass hier der Mittelwertsatz angewendet
> werden kann und soll, kriege das aber nicht hin.

bekanntlich gilt ja [mm] $\ln(n/m)=\ln(n)-\ln(m)\,.$ [/mm] Damit ist
[mm] $$\frac{n-m}{n} [/mm] < [mm] \ln\left(\frac{n}{m}\right)$$ [/mm]
wegen $n-m > [mm] 0\,$ [/mm] äquivalent zu
[mm] $$(\star)\;\;\;\frac{1}{n} [/mm] < [mm] \frac{\ln(n)-\ln(m)}{n-m}\,.$$ [/mm]

(Bzw. Du wirst oder solltest Dir klarmachen, dass die ganze obige Ungleichungskette äquivalent zu
[mm] $$\frac{1}{n} [/mm] < [mm] \frac{\ln(n)-\ln(m)}{n-m} [/mm] < [mm] \frac{1}{m}$$ [/mm]
ist.)

Um die letzte Ungleichung [mm] $(\star)$ [/mm] zu beweisen:
Betrachte $x [mm] \mapsto \ln(x)$ [/mm] auf $[m,n]$ (beachte $0 < m < [mm] n\,$ [/mm] nach Voraussetzung) und wende dort nun den MWS an. Danach benutze, dass [mm] $\frac{d}{dx}\;\ln(x)=\frac{1}{x}$ [/mm] und dass $x [mm] \mapsto \frac{1}{x}$ [/mm] streng monoton fallend auf dem offenen Intervall [mm] $(0,\infty)$ [/mm] ist. Damit bekommst Du nämlich [mm] $\frac{1}{n} [/mm] < [mm] \frac{1}{\xi} [/mm] < [mm] \frac{1}{m}$ [/mm] für alle [mm] $\xi \in (m,n)\,.$ [/mm]
Wenn Du das nun einfach noch 'zusammenbastelst', bist Du auch schon fertig.

Gruß,
Marcel

Bezug
                
Bezug
Ungleichung beweisen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:07 Mo 30.03.2009
Autor: abakus


> Hallo,
>  
> > Beweisen Sie folgende Ungleichung für alle 0<m<n
>  >  
> > [mm]\bruch{n-m}{n}[/mm] < ln [mm]\bruch{n}{m}[/mm] < [mm]\bruch{n-m}{m}[/mm]
>  >  Ich vermute starkt dass hier der Mittelwertsatz
> angewendet
> > werden kann und soll, kriege das aber nicht hin.
>  
> bekanntlich gilt ja [mm]\ln(n/m)=\ln(n)-\ln(m)\,.[/mm] Damit ist
> [mm]\frac{n-m}{n} < \ln\left(\frac{n}{m}\right)[/mm]
>  wegen [mm]n-m > 0\,[/mm]
> äquivalent zu
>  [mm](\star)\;\;\;\frac{1}{n} < \frac{\ln(n)-\ln(m)}{n-m}\,.[/mm]
>  
> (Bzw. Du wirst oder solltest Dir klarmachen, dass die ganze
> obige Ungleichungskette äquivalent zu
>  [mm]\frac{1}{n} < \frac{\ln(n)-\ln(m)}{n-m} < \frac{1}{m}[/mm]
>  
> ist.)
>  
> Um die letzte Ungleichung [mm](\star)[/mm] zu beweisen:
>  Betrachte [mm]x \mapsto \ln(x)[/mm] auf [mm][m,n][/mm] (beachte [mm]0 < m < n\,[/mm]
> nach Voraussetzung) und wende dort nun den MWS an. Danach
> benutze, dass [mm]\frac{d}{dx}\;\ln(x)=\frac{1}{x}[/mm] und dass [mm]x \mapsto \frac{1}{x}[/mm]
> streng monoton fallend auf dem offenen Intervall [mm](0,\infty)[/mm]
> ist. Damit bekommst Du nämlich [mm]\frac{1}{n} < \frac{1}{\xi} < \frac{1}{m}[/mm]
> für alle [mm]\xi \in (m,n)\,.[/mm]
>  Wenn Du das nun einfach noch
> 'zusammenbastelst', bist Du auch schon fertig.

Hallo, der zweite Teil der Ungleichng folgt auch aus ln x [mm] \le [/mm] x-1.
(y=x-1 ist die Tangente an y=ln x im Punkt (1|0), und wegen des Krümmungsverhaltens liegen alle anderen Punkte des Graphen von ln x unter dieser Tangente.
Gruß Abakus

>  
> Gruß,
>  Marcel


Bezug
                        
Bezug
Ungleichung beweisen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:56 Di 31.03.2009
Autor: Marcel

Hallo,

> > Hallo,
>  >  
> > > Beweisen Sie folgende Ungleichung für alle 0<m<n
>  >  >  
> > > [mm]\bruch{n-m}{n}[/mm] < ln [mm]\bruch{n}{m}[/mm] < [mm]\bruch{n-m}{m}[/mm]
>  >  >  Ich vermute starkt dass hier der Mittelwertsatz
> > angewendet
> > > werden kann und soll, kriege das aber nicht hin.
>  >  
> > bekanntlich gilt ja [mm]\ln(n/m)=\ln(n)-\ln(m)\,.[/mm] Damit ist
> > [mm]\frac{n-m}{n} < \ln\left(\frac{n}{m}\right)[/mm]
>  >  wegen [mm]n-m > 0\,[/mm]
> > äquivalent zu
>  >  [mm](\star)\;\;\;\frac{1}{n} < \frac{\ln(n)-\ln(m)}{n-m}\,.[/mm]
>  
> >  

> > (Bzw. Du wirst oder solltest Dir klarmachen, dass die ganze
> > obige Ungleichungskette äquivalent zu
>  >  [mm]\frac{1}{n} < \frac{\ln(n)-\ln(m)}{n-m} < \frac{1}{m}[/mm]
>  
> >  

> > ist.)
>  >  
> > Um die letzte Ungleichung [mm](\star)[/mm] zu beweisen:
>  >  Betrachte [mm]x \mapsto \ln(x)[/mm] auf [mm][m,n][/mm] (beachte [mm]0 < m < n\,[/mm]
> > nach Voraussetzung) und wende dort nun den MWS an. Danach
> > benutze, dass [mm]\frac{d}{dx}\;\ln(x)=\frac{1}{x}[/mm] und dass [mm]x \mapsto \frac{1}{x}[/mm]
> > streng monoton fallend auf dem offenen Intervall [mm](0,\infty)[/mm]
> > ist. Damit bekommst Du nämlich [mm]\frac{1}{n} < \frac{1}{\xi} < \frac{1}{m}[/mm]
> > für alle [mm]\xi \in (m,n)\,.[/mm]
>  >  Wenn Du das nun einfach
> noch
> > 'zusammenbastelst', bist Du auch schon fertig.
>  Hallo, der zweite Teil der Ungleichng folgt auch aus ln x
> [mm]\le[/mm] x-1.
>  (y=x-1 ist die Tangente an y=ln x im Punkt (1|0), und
> wegen des Krümmungsverhaltens liegen alle anderen Punkte
> des Graphen von ln x unter dieser Tangente.
>  Gruß Abakus

ohja, das wäre durchaus ein schöner Weg. Den kann man auch auf die erste Ungleichung übertragen, man überzeuge sich, dass
$$1-x < [mm] \ln(1/x)\;\;\;\text{ auf } [/mm] (0,1)$$
gilt.

Oder man nehme einfach, was Du oben ja herausgefunden hast, die Ungleichung
[mm] $$\ln(x) [/mm] < [mm] x-1\;\;\;\text{auf }(1,\infty)$$ [/mm]
und beachte, dass $x [mm] \in (1,\infty) \gdw y=\frac{1}{x} \in [/mm] (0,1)$ sowie [mm] $-\ln(1/y)=\ln(y)$ [/mm] für $y > [mm] 0\,.$ [/mm]

Gruß,
Marcel

Bezug
                
Bezug
Ungleichung beweisen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:03 Di 31.03.2009
Autor: Blueplanet


> benutze, dass [mm]\frac{d}{dx}\;\ln(x)=\frac{1}{x}[/mm] und dass [mm]x \mapsto \frac{1}{x}[/mm]
> streng monoton fallend auf dem offenen Intervall [mm](0,\infty)[/mm]
> ist. Damit bekommst Du nämlich [mm]\frac{1}{n} < \frac{1}{\xi} < \frac{1}{m}[/mm]
> für alle [mm]\xi \in (m,n)\,.[/mm]

An genau dieser Stelle hakt es etwas. Wie kommt hier das "echt größer als" zustande? Warum nicht "größer gleich"? [mm]\xi \in (m,n)\,.[/mm] bedeutet doch auch, dass [mm] \xi=m [/mm] oder [mm] \xi=n [/mm] möglich wäre?

Bezug
                        
Bezug
Ungleichung beweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:08 Di 31.03.2009
Autor: fred97


> > benutze, dass [mm]\frac{d}{dx}\;\ln(x)=\frac{1}{x}[/mm] und dass [mm]x \mapsto \frac{1}{x}[/mm]
> > streng monoton fallend auf dem offenen Intervall [mm](0,\infty)[/mm]
> > ist. Damit bekommst Du nämlich [mm]\frac{1}{n} < \frac{1}{\xi} < \frac{1}{m}[/mm]
> > für alle [mm]\xi \in (m,n)\,.[/mm]
>  
> An genau dieser Stelle hakt es etwas. Wie kommt hier das
> "echt größer als" zustande? Warum nicht "größer gleich"?
> [mm]\xi \in (m,n)\,.[/mm] bedeutet doch auch, dass [mm]\xi=m[/mm] oder [mm]\xi=n[/mm]
> möglich wäre?


Nein.


$ [mm] \xi \in (m,n)\, [/mm] $  [mm] \gdw [/mm] $m< [mm] \xi [/mm] <n$

Es ist

(m,n) = { x [mm] \in \IR: [/mm] m<x<n }

und

[m,n] = { x [mm] \in \IR: [/mm] m [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] n }

FRED

Bezug
                                
Bezug
Ungleichung beweisen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:28 Di 31.03.2009
Autor: Blueplanet

Ahaaaaaa!
Kannte die Schreibweise mit runden Klammern nicht, weshalb mich auch der Wikipediaartikel eher verwirrt hat.

Vielen Dank!

Bezug
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