Ungleichung beweisen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:08 Sa 25.05.2013 | | Autor: | Herbart |
| Aufgabe | | Z.zg.: [mm] |z^5+z+\bruch{1}{8}| \le \bruch{1}{2} [/mm] für z [mm] \in \IC [/mm] : |z| [mm] \le \bruch{1}{2} [/mm] |
Ich habe schon mit der Dreiecksungl. und Rechenregeln folgendes versucht:
[mm] |z^5+z+\bruch{1}{8}| \le |z^5| [/mm] + |z| + [mm] \bruch{1}{8} [/mm] = [mm] (|z|^5)^5 [/mm] + |z| + [mm] \bruch{1}{8} \le (0,5^5)^5+0,5+0,125
[/mm]
Das ist aber [mm] \ge \bruch{1}{2}
[/mm]
Ich habe auch für z = a + ib folgendes versucht:
[mm] |(a+ib)^5+a+ib+\bruch{1}{8}| [/mm] = ... = [mm] a^3(a^2-10b^2)+a(5b^4+1) [/mm] + [mm] \bruch{1}{8} [/mm] + [mm] (b^3(b^2-10a^2)+b(5a^4+1))i
[/mm]
Weiter komme ich dabei aber auch nicht.
Hat jemand einen Tipp für eine vernünftige Abschätzung?
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Hallo Herbart,
> Z.zg.: [mm]|z^5+z+\bruch{1}{8}| \le \bruch{1}{2}[/mm] für z [mm]\in \IC[/mm]
> : |z| [mm]\le \bruch{1}{2}[/mm]
> Ich habe schon mit der
> Dreiecksungl. und Rechenregeln folgendes versucht:
> [mm]|z^5+z+\bruch{1}{8}| \le |z^5|[/mm] + |z| + [mm]\bruch{1}{8}[/mm] =
> [mm](|z|^5)^5[/mm] + |z| + [mm]\bruch{1}{8} \le (0,5^5)^5+0,5+0,125[/mm]
> Das
> ist aber [mm]\ge \bruch{1}{2}[/mm]
>
> Ich habe auch für z = a + ib folgendes versucht:
> [mm]|(a+ib)^5+a+ib+\bruch{1}{8}|[/mm] = ... =
> [mm]a^3(a^2-10b^2)+a(5b^4+1)[/mm] + [mm]\bruch{1}{8}[/mm] +
> [mm](b^3(b^2-10a^2)+b(5a^4+1))i[/mm]
> Weiter komme ich dabei aber auch nicht.
>
> Hat jemand einen Tipp für eine vernünftige Abschätzung?
Die Ungleichung kann so gar nicht stimmen, wie das Gegenbeispiel [mm] z=\bruch{1}{2} [/mm] zeigt.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:58 Sa 25.05.2013 | | Autor: | Herbart |
Stimmt, du hast recht! Ich habe mir gar keine Gedanken darüber gemacht, ob es ein Gegenbsp. gibt, da ich annahm, die Aufgabensteller wüssten, was sie tun. Kein wunder, dass ich bei den Abschätzungen auf keinen grünen Zweig kam.
Oder wie würdest du z [mm] \in B_{1/2}(0) [/mm] interpretieren.
Für mich ist [mm] B_{1/2}(0) [/mm] := {z [mm] \in \IC [/mm] : [mm] |z-0|\le \bruch{1}{2} [/mm] }.
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Hallo,
> Stimmt, du hast recht! Ich habe mir gar keine Gedanken
> darüber gemacht, ob es ein Gegenbsp. gibt, da ich annahm,
> die Aufgabensteller wüssten, was sie tun. Kein wunder,
> dass ich bei den Abschätzungen auf keinen grünen Zweig
> kam.
>
> Oder wie würdest du z [mm] \in B_{1/2}(0) [/mm] interpretieren.
> Für mich ist [mm] B_{1/2}(0) [/mm] := {z [mm] \in \IC [/mm] : [mm] |z-0|\red{\le} \bruch{1}{2}
[/mm]
> }.
Statt dem [mm] $\red{\le}$ [/mm] sollte da ein [mm] $\red{<}$ [/mm] in der Definition des Balls stehen (zumindest ist es üblich, dass mit B ein offener Ball bezeichnet wird).
Das ändert aber nichts daran, dass die Ungleichung in der Aufgabe nicht stimmt, denn auch für $z = 0.49 < [mm] \frac{1}{2}$ [/mm] entsteht eine falsche Aussage.
Viele Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:04 Sa 25.05.2013 | | Autor: | Herbart |
Mir fällt gerade auf, dass ich einen Schreibfehler in der Fragestellung gehabt habe.
> Ich habe schon mit der
> Dreiecksungl. und Rechenregeln folgendes versucht:
> [mm]|z^5+z+\bruch{1}{8}| \le |z^5|[/mm] + |z| + [mm]\bruch{1}{8}[/mm] =
> [mm](|z|^5)^5[/mm] + |z| + [mm]\bruch{1}{8} \le (0,5^5)^5+0,5+0,125[/mm]
> Das
> ist aber [mm]\ge \bruch{1}{2}[/mm]
[mm] |z^5| [/mm] ist natürlich nicht gleich [mm] (|z|^5)^5 [/mm] , sondern [mm] |z^5|=|z|^5.
[/mm]
Man sollte ja Fehlern nachgehen 
Dies ändert natürlich nichts daran, dass die Ungleichung falsch ist.
Ich danke euch für eure Hilfe.
Liebe Grüße
Herbart
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