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Hallo zusammen
Muss folgendes zeigen:
Für alle [mm] n\in\IN [/mm] ist
[mm] (1+\bruch{1}{n})^{n}\le\summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{k!}<3
[/mm]
Den ersten Teil habe ich wie folgt bewiesen:
Mit Binomischer Formel [mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] (1+\bruch{1}{n})^{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}1^{n-k}*(\bruch{1}{n})^{k} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}*(\bruch{1}{n^{k}})
[/mm]
Von einem vorherigen Beweis [mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}*(\bruch{1}{n^{k}}) \le \summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{k!}
[/mm]
Beim 2. Teil habe ich keine Ahnung wie ich vorgehen soll. Kann mir dort jemand einen Tipp geben?
Liebe Grüsse
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:57 Di 08.10.2013 | | Autor: | abakus |
> Hallo zusammen
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> Muss folgendes zeigen:
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> Für alle [mm]n\in\IN[/mm] ist
> [mm](1+\bruch{1}{n})^{n}\le\summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{k!}<3[/mm]
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> Den ersten Teil habe ich wie folgt bewiesen:
> Mit Binomischer Formel [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm](1+\bruch{1}{n})^{n}[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}1^{n-k}*(\bruch{1}{n})^{k}[/mm]
> = [mm]\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}*(\bruch{1}{n^{k}})[/mm]
> Von
> einem vorherigen Beweis [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}*(\bruch{1}{n^{k}}) \le \summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{k!}[/mm]
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> Beim 2. Teil habe ich keine Ahnung wie ich vorgehen soll.
> Kann mir dort jemand einen Tipp geben?
>
> Liebe Grüsse
Hallo,
die ersten beiden Summanden von [mm]\summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{k!}[/mm] sind 1 und nochmal 1. Zu zeigen ist also noch, dass
[mm]\summe_{\red{k=2}}^{n}\bruch{1}{k!}[/mm] kleiner als 1 ist. Das sollte durch eine Abschätzung gegenüber [mm] $\frac12 [/mm] + [mm] \frac14+ \frac18+\cdots$ [/mm] möglich sein.
Gruß Abakus
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Hallo
Verstehe es immer noch nicht ganz.
Die ersten beiden Summanden geben eins. Das ist ok.
Dann muss ich noch
[mm] \summe_{{k=2}}^{n}\bruch{1}{k!} [/mm] abschätzen:
[mm] \summe_{{k=2}}^{n}\bruch{1}{k!}\le\summe_{{k=1}}^{n}\bruch{1}{2^{k}}
[/mm]
Und dies sollte ja nun kleiner sein als 1, aber wie kann ich dies genau zeigen?
Liebe Grüsse
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:11 Di 08.10.2013 | | Autor: | abakus |
> Hallo
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> Verstehe es immer noch nicht ganz.
> Die ersten beiden Summanden geben eins. Das ist ok.
> Dann muss ich noch
> [mm]\summe_{{k=2}}^{n}\bruch{1}{k!}[/mm] abschätzen:
>
> [mm]\summe_{{k=2}}^{n}\bruch{1}{k!}\le\summe_{{k=1}}^{n}\bruch{1}{2^{k}}[/mm]
> Und dies sollte ja nun kleiner sein als 1, aber wie kann
> ich dies genau zeigen?
>
> Liebe Grüsse
Hallo,
zeige
[mm] $\frac{1}{2!}=\frac{1}{2}$
[/mm]
[mm] $\frac{1}{3!}<\frac{1}{4}$
[/mm]
[mm] $\frac{1}{4!}<\frac{1}{8}$
[/mm]
[mm] $\frac{1}{5!}<\frac{1}{16}$ ...
[/mm]
Außerdem ist [mm] $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+... [/mm] $ kleiner als 1.
Gruß Abakus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:48 Di 08.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Babybel73,
> [mm]\summe_{{k=2}}^{n}\bruch{1}{k!}\le\summe_{{k=1}}^{n}\bruch{1}{2^{k}}[/mm]
> Und dies sollte ja nun kleiner sein als 1, aber wie kann
> ich dies genau zeigen?
Es gilt [mm] $\summe_{k=1}^n\bruch1{2^k}=1-\bruch1{2^n}<1$.
[/mm]
Die von mir behauptete Gleichheit kann man z.B. per vollständiger Induktion nach $n$ zeigen.
Alternativ handelt es sich bei
[mm] $\summe_{k=0}^n\bruch1{2^k}=\summe_{k=0}^n(\bruch12)^k$
[/mm]
um eine endliche geometrische Reihe, die somit den Wert
[mm] $\bruch{1-(\bruch12)^{n+1}}{1-\bruch12}=\bruch{1-(\bruch12)^{n+1}}{\bruch12}=2*(1-(\bruch12)^{n+1})=2-2*(\bruch12)^{n+1}=2-(\bruch12)^n$
[/mm]
hat.
Also gilt
[mm] $\summe_{k=1}^n\bruch1{2^k}=(\summe_{k=0}^n\bruch1{2^k})-\bruch1{2^0}=2-(\bruch12)^n-1=1-\bruch1{2^n}$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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