Ungleichung eulersche Zahl < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] X_{n}= [/mm] 1 + [mm] \bruch{1}{1!} [/mm] +...+ [mm] \bruch{1}{n!}, [/mm] n [mm] \in \IN. [/mm] Zeige:
(i) [mm] X_{n} \ge (1+\bruch{1}{n})^n [/mm] und lim [mm] X_{n}\ge [/mm] e
(ii) Für m [mm] \in \IN [/mm] mit 2 [mm] \le [/mm] m < n gilt:
[mm] (1+\bruch{1}{n})^n [/mm] > 1 + [mm] \bruch{1}{1!} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2!}*(1-\bruch{1}{n}) [/mm] + [mm] \bruch{1}{3!}*(1-\bruch{1}{n})*(1-\bruch{2}{n}) [/mm] + ... + [mm] \bruch{1}{m!}*(1-\bruch{1}{n})...(1-\bruch{m-1}{n}). [/mm] |
Tag zusammen!
Ich habe [mm] X_{n} [/mm] schon abgeschätzt auf [mm] \summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{2^{n-1}}. [/mm] Ich stehe völlig auf dem Schlauch, mir fehlt eine ordentliche Idee um die Aufgabe so weit zu bringen, dass ich später mit dem Vergleichsprinzip arbeiten kann.
Bei Aufg. (ii) habe ich abgeschätzt und ausprobiert, aber auch dort bringt es mich nicht weiter.
Ich würde mich sehr über ein oder zwei Tipps freuen.
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Hallo kullinarisch,
> Sei [mm]X_{n}=[/mm] 1 + [mm]\bruch{1}{1!}[/mm] +...+ [mm]\bruch{1}{n!},[/mm] n [mm]\in \IN.[/mm]
> Zeige:
>
> (i) [mm]X_{n} \ge (1+\bruch{1}{n})^n[/mm] und lim [mm]X_{n}\ge[/mm] e
>
>
> (ii) Für m [mm]\in \IN[/mm] mit 2 [mm]\le[/mm] m < n gilt:
>
> [mm](1+\bruch{1}{n})^n[/mm] > 1 + [mm]\bruch{1}{1!}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{2!}*(1-\bruch{1}{n})[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{3!}*(1-\bruch{1}{n})*(1-\bruch{2}{n})[/mm] + ... +
> [mm]\bruch{1}{m!}*(1-\bruch{1}{n})...(1-\bruch{m-1}{n}).[/mm]
>
> Ich habe [mm]X_{n}[/mm] schon abgeschätzt auf
> [mm]\summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{2^{n-1}}.[/mm]
Das ist vielleicht schon das Problem. Diese Abschätzung (nebenbei: nach oben oder nach unten?  Das gehört zu den nötigen Angaben!) ist sehr ungenau und daher wahrscheinlich wenig hilfreich.
> Ich stehe völlig auf
> dem Schlauch, mir fehlt eine ordentliche Idee um die
> Aufgabe so weit zu bringen, dass ich später mit dem
> Vergleichsprinzip arbeiten kann.
Probiers mal mit Induktion!
> Bei Aufg. (ii) habe ich abgeschätzt und ausprobiert, aber
> auch dort bringt es mich nicht weiter.
> Ich würde mich sehr über ein oder zwei Tipps freuen.
Da passt der gleiche Tipp.
Lass die Grenzwertbestimmung erst mal außen vor und widme Dich dem Rest. Dann sehen wir mal weiter.
Grüße
reverend
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Oh hätte nicht gedacht das noch jmd antwortet, jetzt habe ich es zu spät gesehen. Haben diese Aufg. inzwischen auch schon besprochen. Trotzdem danke, das nächste mal!
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