Ungleichung in C < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:44 Mi 06.10.2010 | | Autor: | BarneyS |
| Aufgabe | Sei [mm] z \in \IC[/mm] und [mm] i = \wurzel{-1} [/mm].
Bestimmen und skizieren Sie die gemeinsame Lösungsmenge der Ungleichungen:
[mm]|z - 1| \le |z - i| \wedge |z - i| \le |z + 1| [/mm] |
Ich habe für z jeweils a + bi eingesetzt.
1. Teil:
[mm]\gdw |a + bi - 1| \le |a + bi - i| [/mm]
[mm]\gdw |(a - 1) + bi| \le |a + (b - 1)i| [/mm]
[mm]\gdw (a - 1)^2 + b^2 \le a^2 + (b - 1)^2 [/mm]
[mm]\gdw a \le b[/mm]
2. Teil entsprechend:
[mm]\gdw -b \le a [/mm]
Aus 1. und 2. folgt:
[mm] -b \le a \le b [/mm]
Ist der Ansatz richtig und was bedeutet diese Lösung?
Wenn ich das richtig sehe, müssen a und b positiv sein und a ist kleiner gleich b... und jetzt?
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Hallo BarneyS,
> Sei [mm]z \in \IC[/mm] und [mm]i = \wurzel{-1} [/mm].
> Bestimmen und skizieren Sie die gemeinsame Lösungsmenge
> der Ungleichungen:
>
> [mm]|z - 1| \le |z - i| \wedge |z - i| \le |z + 1|[/mm]
>
>
> Ich habe für z jeweils a + bi eingesetzt.
> 1. Teil:
>
> [mm]\gdw |a + bi - 1| \le |a + bi - i|[/mm]
> [mm]\gdw |(a - 1) + bi| \le |a + (b - 1)i|[/mm]
>
> [mm]\gdw (a - 1)^2 + b^2 \le a^2 + (b - 1)^2[/mm]
> [mm]\gdw a \le b[/mm]
Hier steht doch zunächst da: [mm] -2a \le -2b[/mm]
[mm]\gdw -a \le -b[/mm]
Daraus ergibt sich dann: [mm] b \le a[/mm]
>
> 2. Teil entsprechend:
> [mm]\gdw -b \le a[/mm]
Ok, das stimmt.
>
> Aus 1. und 2. folgt:
>
> [mm]-b \le a \le b[/mm]
>
> Ist der Ansatz richtig und was bedeutet diese Lösung?
>
> Wenn ich das richtig sehe, müssen a und b positiv sein und
> a ist kleiner gleich b... und jetzt?
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 Mi 06.10.2010 | | Autor: | BarneyS |
> Hallo BarneyS,
>
> > Sei [mm]z \in \IC[/mm] und [mm]i = \wurzel{-1} [/mm].
> > Bestimmen und skizieren Sie die gemeinsame Lösungsmenge
> > der Ungleichungen:
> >
> > [mm]|z - 1| \le |z - i| \wedge |z - i| \le |z + 1|[/mm]
> >
> >
> > Ich habe für z jeweils a + bi eingesetzt.
> > 1. Teil:
> >
> > [mm]\gdw |a + bi - 1| \le |a + bi - i|[/mm]
> > [mm]\gdw |(a - 1) + bi| \le |a + (b - 1)i|[/mm]
>
> >
> > [mm]\gdw (a - 1)^2 + b^2 \le a^2 + (b - 1)^2[/mm]
> > [mm]\gdw a \le b[/mm]
>
>
> Hier steht doch zunächst da: [mm]-2a \le -2b[/mm]
>
> [mm]\gdw -a \le -b[/mm]
>
> Daraus ergibt sich dann: [mm]b \le a[/mm]
>
>
> >
> > 2. Teil entsprechend:
> > [mm]\gdw -b \le a[/mm]
>
>
> Ok, das stimmt.
OK, dann habe ich da einen kleinen Fehler gemacht.
Es würde also folgen:
[mm] a \ge b \wedge a \ge -b [/mm]
also muss [mm] a \ge |b| [/mm] sein?
Aber was sagt mir jetzt diese Lösung?
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> Es würde also folgen:
>
> [mm]a \ge b \wedge a \ge -b[/mm]
>
> also muss [mm]a \ge |b|[/mm] sein?
>
> Aber was sagt mir jetzt diese Lösung?
Verwende mal anstatt a und b die Bezeichnungen x und y.
Das sollte in dir dann doch irgendwelche ähnliche Aufgaben
aus der Schule ins Gedächtnis zurückrufen. Thema: lineare
Gleichungen und Ungleichungen; etwa Klassenstufe 10 ...
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:01 Do 07.10.2010 | | Autor: | BarneyS |
> > Es würde also folgen:
> >
> > [mm]a \ge b \wedge a \ge -b[/mm]
> >
> > also muss [mm]a \ge |b|[/mm] sein?
> >
> > Aber was sagt mir jetzt diese Lösung?
>
>
> Verwende mal anstatt a und b die Bezeichnungen x und y.
> Das sollte in dir dann doch irgendwelche ähnliche
> Aufgaben
> aus der Schule ins Gedächtnis zurückrufen. Thema:
> lineare
> Gleichungen und Ungleichungen; etwa Klassenstufe 10 ...
>
> LG
Ok, ich habe es verstanden!
Vielen Dank für die Hilfe! :)
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Hallo BarneyS,
beachte zuerst die Antwort von MathePower.
Die Lösung, die aus zwei Ungleichungen für Real- und
Imaginärteil besteht, solltest du geometrisch interpretieren.
Übrigens kann man die Aufgabe auch ganz leicht durch
einfache geometrische Überlegungen lösen. Dazu muss
man sich nebst etwas elementarer Geometrie nur klar
machen, dass [mm] |z-z_0| [/mm] geometrisch dem Abstand der Zahlen
$z$ und [mm] z_0 [/mm] in der komplexen Ebene entspricht.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:14 Mi 06.10.2010 | | Autor: | BarneyS |
> Hallo BarneyS,
>
> beachte zuerst die Antwort von MathePower.
> Die Lösung, die aus zwei Ungleichungen für Real- und
> Imaginärteil besteht, solltest du geometrisch
> interpretieren.
> Übrigens kann man die Aufgabe auch ganz leicht durch
> einfache geometrische Überlegungen lösen. Dazu muss
> man sich nebst etwas elementarer Geometrie nur klar
> machen, dass [mm]|z-z_0|[/mm] geometrisch dem Abstand der Zahlen
> [mm]z[/mm] und [mm]z_0[/mm] in der komplexen Ebene entspricht.
>
>
> LG Al-Chw.
>
>
Ok, das verstehe ich.
Interpretiere ich das richtig, dass dann:
[mm] z = r * ( cos (\varphi) + i * sin (\varphi) ) [/mm]
[mm] r \in \IR^{+} [/mm] und [mm] \bruch{5\pi}{4}\le \varphi \le \bruch{7\pi}{4} [/mm] ist?
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> Interpretiere ich das richtig, dass dann:
>
> [mm]z = r * ( cos (\varphi) + i * sin (\varphi) )[/mm]
>
> [mm]r \in \IR^{+}[/mm] und [mm]\bruch{5\pi}{4}\le \varphi \le \bruch{7\pi}{4}[/mm]
> ist?
Nein.
Auf diese Weise dargestellt komme ich auf [mm]\bruch{-\pi}{4}\le \varphi \le \bruch{\pi}{4}[/mm]
Für meine Lösungsidee habe ich allerdings gar keine
Winkel verwendet.
LG Al-Chw.
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