Ungleichung komplexer Zahlen < komplexe Zahlen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Welche Punkte der z-Ebene erfüllen folgende Gleichung:
$|z-3| < 2|z+3|$ |
Hallo,
die ersten Rechenschritte sind:
$ |(x-3)+iy| < 2|(x+3)+iy| $
$ [mm] \sqrt{(x-3)^2+y^2} [/mm] < 2 [mm] \sqrt{(x+3)^2+y^2} [/mm] $
Meine Frage:
Darf ich an dieser Stelle beide Seiten der Ungleichung quadrieren?
Meine Überlegungen hierzu:
1. Beide Seiten der Ungleichung sind für alle x und y größer gleich null. Das Ungleichheitszeichen kann sich also nicht umkehren (und eine denkbare Fallunterscheidung ist nicht notwendig).
2. Ist die Ungleichung erfüllt, dann ist auch die "beiderseitig quadrierte" Ungleichung erfüllt.
3. Stünde ein Gleichheitszeichen, so dürfte man quadrieren. (Da der Fall "linke Seite" = "rechte Seite" auch genau die Grenze zwischen denjenigen Bereichen der komplexen Zahlenebene markiert, die zur Lösungsmenge gehören, und denjenigen, die nicht dazugehören, so ist Quadrieren meines Erachtens nach erlaubt.)
4. Was mich noch zögern lässt: beim Quadrieren wird die linke Seite mit einem kleineren "Zahlenwert" multipliziert als die rechte Seite. Dadurch "verstärkt" sich - anschaulich gesprochen - die Ungleichheit ja noch...
Vielen Dank für eine kurze Erklärung.
Schöne Grüße
franzzink
|
|
| |
|
Hiho,
die wesentlichen Punkte hast du ja bereits angesprochen, insbesondere, dass beide Seiten nicht negativ sind, dann ist quadrieren nämlich eine Äquivalenzumformung!
Generell solltest du beim Quadrieren mit deiner Lösungsmenge, die dann herausbekommst, aufpassen, die wird durch das Quadrieren nämlich unter umständen größer.... aber nur dann halt, wenn es KEINE Äquivalenzumformung ist, das ist hier aber der Fall.
Als kleiner Tipp (und Übung am Rande), kannst du dir die Lösungsmenge ja gern auch mal anders überlegen:
Was ist denn anschaulich der Wert |z-3| ? Und der Wert |z+3| ?
Was sagt die Ungleichung anschaulich aus?
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:27 Sa 06.10.2012 | | Autor: | franzzink |
Hallo Gonozal,
> Als kleiner Tipp (und Übung am Rande), kannst du dir die
> Lösungsmenge ja gern auch mal anders überlegen:
>
> Was ist denn anschaulich der Wert |z-3| ? Und der Wert
> |z+3| ?
> Was sagt die Ungleichung anschaulich aus?
|z-3| ist der Abstand zum Punkt (3/0).
|z+3| ist der Abstand zum Punkt (-3/0).
2|z+3| ist der doppelte Abstand.
|z-3|=2|z+3| beschreibt einen Apollonischen Kreis.
Lösungsmenge der Ungleichung ist somit die komplexe Zahlenebene ohne diesen Apollonischen Kreis und ohne dessen Inneres.
Danke für die Erklärung und den Tipp samt Übungsaufgabe. 
Herzliche Grüße
franzzink
|
|
|
|
