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Forum "Uni-Sonstiges" - Ungleichung mit 3 Faktoren
Ungleichung mit 3 Faktoren < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ungleichung mit 3 Faktoren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:54 Do 04.11.2010
Autor: zoj

Aufgabe
Folgende Ungleichung ist gegeben:
[mm] x^{3} [/mm] - [mm] x^{2} [/mm] - 2x + 2<0

Die Lösungsmenge soll bestimmt werden.

Das Problem bei dieser Ungleichung ist, dass ich 3 Faktoren habe.

[mm] x^{3} [/mm] - [mm] x^{2} [/mm] - 2x + 2<0
= (x - [mm] \wurzel{2})(x [/mm] + [mm] \wurzel{2})(x [/mm] - 1) < 0

Der Ansatz ist doch: Die ungleichung wird nicht erfült, wenn einer der Faktoren > 0 ist. Das sind 4 Fälle.

1Fall:
x < [mm] \wurzel{2} \wedge [/mm] x < - [mm] \wurzel{2} \wedge [/mm] x < 1

2 Fall:
x > [mm] \wurzel{2} \wedge [/mm] x < - [mm] \wurzel{2} \wedge [/mm] x < 1

3 Fall:
x < [mm] \wurzel{2} \wedge [/mm] x > - [mm] \wurzel{2} \wedge [/mm] x < 1

4 Fall:
x < [mm] \wurzel{2} \wedge [/mm] x < - [mm] \wurzel{2} \wedge [/mm] x > 1

Habe jetzt alle Möglichen Kombinationen aufgeschrieben.
Nun muss ichh doch gucken, welche Kombinationen erfüllt "wahr" sind.

Dazu kann ich doch eine 1 einsetzen und prüfen.
Das Problem ist keine der Gleichungen wird für den Wert 1 erfült.

        
Bezug
Ungleichung mit 3 Faktoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:05 Do 04.11.2010
Autor: fred97


> Folgende Ungleichung ist gegeben:
>  [mm]x^{3}[/mm] - [mm]x^{2}[/mm] - 2x + 2<0
>  
> Die Lösungsmenge soll bestimmt werden.
>  Das Problem bei dieser Ungleichung ist, dass ich 3
> Faktoren habe.
>  
> [mm]x^{3}[/mm] - [mm]x^{2}[/mm] - 2x + 2<0
>  = (x - [mm]\wurzel{2})(x[/mm] + [mm]\wurzel{2})(x[/mm] - 1) < 0
>  
> Der Ansatz ist doch: Die ungleichung wird nicht erfült,
> wenn einer der Faktoren > 0 ist. Das sind 4 Fälle.
>  
> 1Fall:
> x < [mm]\wurzel{2} \wedge[/mm] x < - [mm]\wurzel{2} \wedge[/mm] x < 1
>  
> 2 Fall:
>  x > [mm]\wurzel{2} \wedge[/mm] x < - [mm]\wurzel{2} \wedge[/mm] x < 1

>  
> 3 Fall:
>  x < [mm]\wurzel{2} \wedge[/mm] x > - [mm]\wurzel{2} \wedge[/mm] x < 1

>  
> 4 Fall:
>  x < [mm]\wurzel{2} \wedge[/mm] x < - [mm]\wurzel{2} \wedge[/mm] x > 1

>  
> Habe jetzt alle Möglichen Kombinationen aufgeschrieben.
>  Nun muss ichh doch gucken, welche Kombinationen erfüllt
> "wahr" sind.
>  


Ja, das solltest Du


> Dazu kann ich doch eine 1 einsetzen und prüfen.
>  Das Problem ist keine der Gleichungen wird für den Wert 1
> erfült.  

Das ist ja auch kein Wunder, denn wenn ein x die Ungl. erfüllt, so muß notwendigerweise x>1 oder x<1 sein !



Das ganze geht aber viel einfacher:  Deine Ungl. ist gleichbedeutend mit:

     (*)     [mm] (x^2-2)(x-1)<0. [/mm]

Dann:

    (*)  [mm] \gdw (x^2<2 [/mm] und x>1)   oder   [mm] (x^2>2 [/mm] und x<1)

Die Aussage [mm] x^2>2 [/mm] und x<1 ist für kein x richtig, also:

     (*)  [mm] \gdw (x^2<2 [/mm] und x>1)   [mm] \gdw [/mm]  |x|< [mm] \wurzel{2} [/mm]  und x>1  [mm] \gdw [/mm]  x [mm] \in [/mm] (1, [mm] \wurzel{2}) [/mm]


FRED


Bezug
                
Bezug
Ungleichung mit 3 Faktoren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:25 Do 04.11.2010
Autor: zoj

Erstmal danke für deine Lösung.
Aber irgendetwas scheint nicht zu stimmen.

Herauskommen soll: x < [mm] -\wurzel{2} \cup [/mm] 1 < x < [mm] \wurzel{2} [/mm]

Die Gleichung: [mm] (x^2<2 [/mm] $ und x>1)  wird doch für Wert 1 nicht erfüllt.



Bezug
                        
Bezug
Ungleichung mit 3 Faktoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:36 Do 04.11.2010
Autor: Steffi21

Hallo,

betrachte die Funktion [mm] f(x)=(x^{2}-2)*(x-1) [/mm] mit den Nullstellen [mm] x_1=-\wurzel{2}, x_2=1 [/mm] und [mm] x_3=\wurzel{2} [/mm] also [mm] x<-\wurzel{2} [/mm] oder [mm] 1
die Aussage von fred97 "Die Aussage [mm] x^2>2 [/mm] und x<1 ist für kein x richtig" ist so nicht ok, betrachte z.B. -2

aus [mm] x^{2}<2 [/mm] und x>1 folgt [mm] 1
aus [mm] x^{2}>2 [/mm] und x<1 folgt [mm] x<-\wurzel{2} [/mm]

Steffi

Bezug
                
Bezug
Ungleichung mit 3 Faktoren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:39 Do 04.11.2010
Autor: Steffi21

Hallo FRED

"Die Aussage [mm] x^2>2 [/mm] und x<1 ist für kein x richtig"

können wir so nicht stehen lassen, x=-2 erfüllt diese Aussage

Steffi

Bezug
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