Ungleichung mit Taylor < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie dass für alle x [mm] \in \IR [/mm] gilt :
[mm] \vmat{ cos(x) - (1-\bruch{x^{2}}{2})\\ } \le \bruch{x^{4}}{24}
[/mm]
Hinweis : Satz von Taylor mit geeigneter Restglied Darstellung. |
Hallo, auch hier weiss ich nicht so ganz ob ich richtig liege.
Also ich versuche cos(x) mit Taylor bis zur 4. Ordnung anzunähern.
Dann hab ich :
[mm] cos(0)+(-sin(0))*x+\bruch{-cos(0)}{2}*x^{2} +\bruch{sin(0)}{3!}*x^{3}+\bruch{cos(0)}{4!}*x^{4} [/mm] = [mm] 1+0-\bruch{1}{2}x^{2}+\bruch{x^{4}}{24}
[/mm]
nun dachte ich mir: einfach mal einsetzen :
Nun dann kommt aber leider [mm] \vmat{\bruch{x^{4}}{24} \\ } \le \bruch{x^{4}}{24} [/mm] heraus.
Wie bekomme ich geschickt das Restglied heraus für diese Ungleichung ?
In dem Satz von Taylor steht bei uns was von der Lagrange Form bzgl. des Restgliedes [mm] f^{m+1}(\varepsilon)\bruch{(x-a)^{m+1}}{(m+1)!}=R^{a}_{m+1}(f)(x)
[/mm]
Grüße Charlie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:11 Sa 17.05.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Zeigen Sie dass für alle x [mm]\in \IR[/mm] gilt :
>
> [mm]\vmat{ cos(x) - (1-\bruch{x^{2}}{2})\\ } \le \bruch{x^{4}}{24}[/mm]
>
> Hinweis : Satz von Taylor mit geeigneter Restglied
> Darstellung.
> Hallo, auch hier weiss ich nicht so ganz ob ich richtig
> liege.
>
> Also ich versuche cos(x) mit Taylor bis zur 4. Ordnung
> anzunähern.
> Dann hab ich :
>
> [mm]cos(0)+(-sin(0))*x+\bruch{-cos(0)}{2}*x^{2} +\bruch{sin(0)}{3!}*x^{3}+\bruch{cos(0)}{4!}*x^{4}[/mm]
> = [mm]1+0-\bruch{1}{2}x^{2}+\bruch{x^{4}}{24}[/mm]
>
> nun dachte ich mir: einfach mal einsetzen :
>
> Nun dann kommt aber leider [mm]\vmat{\bruch{x^{4}}{24} \\ } \le \bruch{x^{4}}{24}[/mm]
> heraus.
es gilt ja nun im allgemeinen nicht $f(x) = [mm] T_n(x)$, [/mm] wobei [mm] $T_n(x)$ [/mm] das taylorpolynom vom grad $n$ zu $f$ im entwicklungspunkt $0$ bezeichne. du musst eben verwenden, dass $f(x) = [mm] T_m(x) [/mm] + [mm] R_{m + 1}^0(f)(x)$, [/mm] also erhälst du $|f(x) - [mm] T_m(x)| [/mm] = [mm] |R_{m + 1}^0(f)(x)|$.
[/mm]
> Wie bekomme ich geschickt das Restglied heraus für diese
> Ungleichung ?
>
> In dem Satz von Taylor steht bei uns was von der Lagrange
> Form bzgl. des Restgliedes
> [mm]f^{m+1}(\varepsilon)\bruch{(x-a)^{m+1}}{(m+1)!}=R^{a}_{m+1}(f)(x)[/mm]
wenn du das von mir angegebe einsetzt erhälst du also $|f(x) - [mm] T_3(x)| [/mm] = [mm] |R_{4}^0(f)(x)|$. [/mm] das talorpolynom [mm] $T_3$ [/mm] hast du ja schon ausgerechnet (den term für $n = 4$ musst du eben wieder wegfallen lassen). wie sieht denn dann in diesem fall das restglied [mm] $|R_{4}^0(f)(x)|$ [/mm] aus? dies musst du geschickt nach oben abschätzen. überlege dir dazu wie groß der [mm] $|\cos|$ [/mm] auf der reellen achse höchstens werden kann.
grüße
andreas
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Also dann mache das Taylorpolynom bis zum 3. Grad.
Dann habe ich [mm] T(x)=1-\bruch{1}{2}x^{2}
[/mm]
Dann kann ich doch das in die Ungleichung einsetzten für cos.
und erhalte [mm] \vmat{ cos(x)-(1-\bruch{x^{2}}{2})\\} \le \bruch{x^{4}}{24} [/mm] = [mm] \vmat{ 1-\bruch{1}{2}x^{2}-(1-\bruch{x^{2}}{2})\\} \le \bruch{x^{4}}{24} [/mm] = [mm] \vmat{ 0\\} \le \bruch{x^{4}}{24}.. [/mm] und das stimmt doch oder nicht..also benötige doch garkein Restglied..
Aber ich hab mal trotzdem das Restglied berechnet und ich hab da |cos(x)| heraus und das kann ich mit |cos(x)| [mm] \le [/mm] 1 abschätzen.
Aber komm ich so weiter ??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:28 Sa 17.05.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Also dann mache das Taylorpolynom bis zum 3. Grad.
> Dann habe ich [mm]T(x)=1-\bruch{1}{2}x^{2}[/mm]
ja.
> Dann kann ich doch das in die Ungleichung einsetzten für
> cos.
> und erhalte [mm]\vmat{ cos(x)-(1-\bruch{x^{2}}{2})\\} \le \bruch{x^{4}}{24}[/mm]
woher kennst du diese abschätzung?
> = [mm]\vmat{ 1-\bruch{1}{2}x^{2}-(1-\bruch{x^{2}}{2})\\} \le \bruch{x^{4}}{24}[/mm]
> = [mm]\vmat{ 0\\} [/mm]
warum sollte dies gleich null sein?
> [mm] \le \bruch{x^{4}}{24}..[/mm] und das stimmt doch
> oder nicht..also benötige doch garkein Restglied..
also kurz - ich sehe nicht so recht was du machst. schreib bitte mal zu jedem schritt auf, warum man das machen darf, dann können wir das kontrollieren.
> Aber ich hab mal trotzdem das Restglied berechnet und ich
> hab da |cos(x)| heraus und das kann ich mit |cos(x)| [mm]\le[/mm] 1
> abschätzen.
in dem restglied steht ja noch mehr drinn als nur die vierte ableitung. aber die abschätzung, die du hier für [mm] $|\cos [/mm] x|$ angibst stimmt natürlich damit sollte man doch mit meinem obigen ansatz weiterkommen.
grüße
andreas
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also ich hab laut Aufgabe :
[mm] \vmat{ cos(x)-(1-\bruch{x^{2}}{2})\\} \le \bruch{x^{4}}{24}
[/mm]
dann setze ich jetzt für cos(x) die Taylorannäherung des 3. Grades.
also: [mm] \vmat{ 1-\bruch{1}{2}x^{2}-(1-\bruch{x^{2}}{2})\\} \le \bruch{x^{4}}{24} \gdw
[/mm]
[mm] \vmat{ 0\\}\le \bruch{x^{4}}{24}
[/mm]
und : Mein Restglied ist falsch ?... ich sehe grad ja!!!
dachte [mm] \vmat{ f(x)-T(x)\\} [/mm] also : [mm] \vmat{ cos(x)-(1-\bruch{x^{2}}{2}) - 1-\bruch{x^{2}}{2}\\} [/mm] = [mm] \vmat{ cos(x)-2\\}.... [/mm] aber wie soll ich jetzt das mit cos einfügen (ich meine diese Abschätzung)?
Aber erstmal vielen Dank für deine Hilfe!!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:58 Sa 17.05.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> also ich hab laut Aufgabe :
>
> [mm]\vmat{ cos(x)-(1-\bruch{x^{2}}{2})\\} \le \bruch{x^{4}}{24}[/mm]
>
> dann setze ich jetzt für cos(x) die Taylorannäherung des 3.
> Grades.
> also: [mm]\vmat{ 1-\bruch{1}{2}x^{2}-(1-\bruch{x^{2}}{2})\\} \le \bruch{x^{4}}{24} \gdw[/mm]
statt der funktion eine endliches taylorpolynom einzusetzen ist natürlich keine äquivalenzumformung, du kannst so also nicht anfangen um die erste ungleichung zu beweisen.
> [mm]\vmat{ 0\\}\le \bruch{x^{4}}{24}[/mm]
>
> und : Mein Restglied ist falsch ?... ich sehe grad ja!!!
> dachte [mm]\vmat{ f(x)-T(x)\\}[/mm] also : [mm]\vmat{ cos(x)-(1-\bruch{x^{2}}{2}) - 1-\bruch{x^{2}}{2}\\}[/mm]
> = [mm]\vmat{ cos(x)-2\\}....[/mm] aber wie soll ich jetzt das mit
> cos einfügen (ich meine diese Abschätzung)?
mir ist etwas unklar, was genau du in [mm]\vmat{ f(x)-T(x)\\}[/mm] einsetzt, da kommt ja zweimal das taylorpolynom vor?
beginne doch so wie ich in meiner ersten antwort vorgeschlagen habe: du weißt ganz allgemein, dass
$ |f(x) - [mm] T_m(x)| [/mm] = [mm] |R_{m + 1}^0(f)(x)| [/mm] $
nun setze hier für $m = 3$ mal alle bekannten werte ($f, [mm] \,T_3$ [/mm] und [mm] $R_4^0(f)$ [/mm] - für letzteres hast du in deiner ersten frage eine explizite formel angegeben) ein. was steht dann da? nun schätze die rechte seite geschickt nach oben ab.
grüße
andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:18 Sa 17.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
du weisst doch dass [mm] cosx=T_3(x)+Restglied [/mm] setz das statt cos x in deiner Ungleichung ein. dann musst du nur noch [mm] f''''(\xhi) [/mm] richtig abschätzen, was hier einfach ist!
Gruss leduart
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Hallo, ich hab die Diskussion aufmerksam verfolgt, komme aber leider auch noch nicht so wirklich klar.
Also es ist f(x)=cos x
[mm] T_3(x)=1-\bruch{1}{2}x^2
[/mm]
Jetzt muss das Restglied berechnet werden mit
[mm] |R_0^4(f)(x)|=|f(x)-T_3(x)|=|cos(x)-(1-\bruch{1}{2}x^2)|=|cos(x)-1+\bruch{1}{2}x^2|
[/mm]
ok, aber was fange ich jetzt mit cos(x) an? Mein erster Gedanke, nachdem ich so einiges vom Abschätzen nach oben gelesen habe, war
[mm] |cos(x)-1+\bruch{1}{2}x^2|\le [/mm] |1 [mm] -1+\bruch{1}{2}x^2|=|\bruch{1}{2}x^2|=\bruch{1}{2}x^2. [/mm] Ich vermute mal, ich soll aber als Restglied [mm] \bruch{x^4}{24} [/mm] erhalten, was ja die 4te Ableitung ist, aber ich komme einfach nicht drauf wie...
vielen Dank schon mal im Voraus.
mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:37 So 18.05.2008 | | Autor: | andreas |
hi
in der allerersten frage steht doch eine explizite formel für das restglied: $ [mm] f^{m+1}(\varepsilon)\bruch{(x-a)^{m+1}}{(m+1)!}=R^{a}_{m+1}(f)(x) [/mm] $. in diese einfach alles berechnete einsetzen und damit $|f(x) - [mm] T_3(x)|$ [/mm] abschätzen (und nicht dies verwenden um das restglied abzuschätzen.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:38 So 18.05.2008 | | Autor: | rainman_do |
Ähm...sorry, hab mich da verschrieben mit der 4ten Ableitung, ich meinte [mm] \bruch{cos(0)}{4!}x^4...also [/mm] das vierte "Glied" aus der Taylor-Formel...sorry
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