Ungleichung mit arctan < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Beweisen Sie die Ungleichung arctan(x) > x /(1+x²) für x>0. |
Hallo Community,
ich bin neu hier und kenne mich daher mit dem forum noch nicht so gut aus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
also zur aufgabe: ich habe mir gedacht dass ich die ungleichung derart umschreibe, dass sie wie folgt aussieht.
x > ([mm]\sin (x/1+x²)[/mm])/([mm]\cos (x/1+x²)[/mm])
Anfangs dachte ich, dass ich die Ungl. ableite und die Anstiege beider Fkt. vergleiche, aber die Abl. von tan(...) erweist sich als sehr unschön und so wird die rechnung leider nicht vereinfacht.
habt ihr vielleicht bessere ansätze um die ungl. elegant zu lösen?
vielen dank schon mal.
mfg muh
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:15 So 23.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo muh,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Deine Umformung wird m.E. so nicht zum Ziel führen.
Aber betrachte doch mal die folgende Funktion und zeige, dass diese für $x \ > \ 0$ stets positiv ist bzw. das Minimum dieser Funktion nicht negativ ist.
$$f(x) \ = \ [mm] \arctan(x) -\bruch{x}{1+x^2}$$
[/mm]
Die Ableitung zum [mm] $\arctan(x)$ [/mm] lautet: [mm] $\bruch{1}{1+x^2}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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ich bedanke mich :)
durch deinen fkt.ansatz lässt sich die ungleichung sehr schnell überprüfen. :))))))
gruß muh
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